Stewartova věta

Stewartův teorém je metrický teorém v euklidovské planimetrii .

Říká, že pokud bod leží na straně trojúhelníku , pak $D$ $před naším letopočtem$ $ABC$

AD^{2}=p^{2}=b^{2}{\frac {x}{a}}+c^{2}{\frac {y}{a}}-{xy} ,

kde , a (obr. 1). Segment AD se nazývá ceviana trojúhelníku ABC . $y=CD$ $x=BD$ $a=x+y=BC$

Důkazy

Prostřednictvím součinu vektorů

Jeden z důkazů věty je založen na aplikaci vektorové algebry a zejména na vlastnostech vnitřního součinu [1] . Reprezentujme vektor , jehož délka je požadovaná, dvěma způsoby: ${\overrightarrow {AD)),$

{\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BD}},\quad {\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {CD } }}.

Vynásobte první rovnici délkou a druhou $CD$ $BD\colon$

{\overrightarrow {AD}}\cdot CD={\overrightarrow {AB}}\cdot CD+{\overrightarrow {BD}}\cdot CD,

{\overrightarrow {AD}}\cdot BD={\overrightarrow {AC}}\cdot BD+{\overrightarrow {CD}}\cdot BD.

Nyní sečteme výsledné rovnice:

{\overrightarrow {AD}}\cdot BC=({\overrightarrow {AB}}\cdot CD~{\color {Červená}+~{\overrightarrow {BD}}\cdot CD})+({\ overrightarrow {AC}}\cdot BD~{\color {Červená}+~{\overrightarrow {CD}}\cdot BD}),

kde od a mají stejnou délku a jsou opačné. Proto je samotný vektor ${\overrightarrow {BD}}\cdot CD+{\overrightarrow {CD}}\cdot BD=0,$ ${\overrightarrow {BD}}\cdot CD$ ${\overrightarrow {CD}}\cdot BD$ ${\overrightarrow {AD}}$

{\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AB}}{\frac {CD}{BC}}+{\overrightarrow {AC}}{\frac {BD}{BC}}.

Jeho délku lze získat pomocí skalárního součinu vektoru se sebou samým: ${\overrightarrow {AD}}$

\left({\overrightarrow {AD}}\right)^{2}=\left({\overrightarrow {AB}}\right)^{2}\left({\frac {CD}{BC} }\right)^{2}+\left({\overrightarrow {AC}}\right)^{2}\left({\frac {BD}{BC}}\right)^{2}+{\color {Zelená}2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}}\cdot {\frac {CD}{BC}}\cdot {\frac {BD}{BC}}.

Dále, abychom se vyjádřili pomocí délek, musíme najít $2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}$ $({\overrightarrow {AB}}-{\overrightarrow {AC}})^{2}\colon$

{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}},

BC^{2}=AC^{2}-2{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}+AB^{2},

2{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}=AC^{2}+AB^{2}-BC^{2}.

Z toho nakonec vyplývá, že

AD^{2}=AB^{2}{\frac {CD^{2}}{BC^{2}}}+AC^{2}{\frac {BD^{2}}{BC ^{2}}}+({\color {Green}AC^{2}+AB^{2}-BC^{2}}){\frac {CD}{BC}}\cdot {\frac {BD }{PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM}},

$AD^{2}=AB^{2}\cdot {\frac {CD}{BC}}+AC^{2}\cdot {\frac {BD}{BC}}-CD\cdot BD.$

Prostřednictvím kosinové věty

AB a AC vyjádříme pomocí zbývajících stran trojúhelníků ABC a ACD a pomocí úhlů a sousedních stran : $\angle ADB$ $\angle ADC,$

AB^{2}=BD^{2}+AD^{2}-2AD\cdot BD\cos \angle ADB,

{\begin{alignedat}{2}AC^{2}&=AD^{2}+DC^{2}~{\color {Green}-}~2AD\cdot DC\cos \angle AD{ \color {Green}C}=\\&=AD^{2}+DC^{2}~{\color {Green}+}~2AD\cdot DC\cos \angle AD{\color {Green}B} .\\\end{alignedat}}

Vynásobte první rovnici a druhou rovnici $DC$ $BD\colon$

{\begin{cases}AB^{2}DC=BD^{2}DC+AD^{2}DC-2AD\cdot BD\cdot DC\cos \angle ADB,\\AC^{2} BD=AD^{2}BD+DC^{2}BD+2AD\cdot DC\cdot BD\cos \angle ADB,\end{cases}}

Abychom se zbavili kosinusu úhlu ABD , přidáme tyto rovnosti:

AB^{2}DC+AC^{2}BD=(BD^{2}DC+AD^{2}DC)+(AD^{2}BD+DC^{2}BD),

AB^{2}DC+AC^{2}BD-BD^{2}DC-DC^{2}BD=AD^{2}(DC+BD),

AB^{2}DC+AC^{2}BD-BD\cdot DC(BD+DC)=AD^{2}(DC+BD),

$AB^{2}\cdot {\frac {CD}{BC}}+AC^{2}\cdot {\frac {BD}{BC}}-BD\cdot CD=AD^{2}.$

Historie

Věta je pojmenována po anglickém matematikovi M. Stewartovi, který ji dokázal a publikoval v díle Some General Theorems (1746, Edinburgh). Větu oznámil Stuartovi jeho učitel R. Simson , který tuto větu zveřejnil až v roce 1749.

Aplikace

Věta může být použita k nalezení mediánů a sečnic trojúhelníků a speciálním případem Stewartovy věty, kdy ceviana degeneruje na střední , je Apolloniova věta .
Důsledkem Stewartovy věty je i Ptolemaiova věta .[ vyčistit ]

Generalizace

Stewartův teorém je zobecněn na Bretschneiderovu rovnost pro čtyřúhelník: jestliže jeden vrchol čtyřúhelníku padá na stranu čtyřúhelníku, pak Stewartův teorém vyplývá z Bretschneiderovy věty .

Poznámky

↑ Pogorelov A. V. Geometrie. - M .: Nauka , 1983. - S. 30-31. — 288 s.

Literatura

L. S. Atanasyan , V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, I. I. Yudina Geometrie. Další kapitoly k učebnici 9. třídy. 4. vyd. Nakladatelství Vita-Press, 2004. s. 53.
V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak , S. A. Shestakov , I. I. Yudina Geometrie. Manuál pro hloubkové studium matematiky. Nakladatelství FIZMATLIT, 2005. 488 s. s. 302-303.
Manturov O. V. , Solntsev Yu. K. Vysvětlující slovník matematických pojmů. Průvodce pro učitele. Za redakce Ditkin V.A.M.: Education, 1965. 540 s.
Ponarin Ya. P. Elementární geometrie. Ve 2 svazcích - M . : MTSNMO , 2004. - S. 60-61. — ISBN 5-94057-170-0 .