Usovova geodetická věta

Usovova geodetická věta poskytuje přesný odhad pro změnu rotace geodetiky na grafu konvexní Lipschitzovy funkce.

Ověřeno Vladimirem Usovem. [1] Důkaz využívá Liebermanovo lemma .

Formulace

Nechť existuje graf konvexní Lipschitzovy funkce a geodetické na . Pak variace rotace nepřekročí , kde je Lipschitzova konstanta . ${\displaystyle \Sigma \subset \mathbb {R} ^{3))$ $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ $\gamma$ $\Sigma$ $\gamma$ $2\cdot L$ $L$ $F$

Poznámky

Tohoto odhadu je dosaženo například pro kužel . Je také možné vyhladit funkci kolem nuly, čímž se získá hladký příklad s rovností. ${\displaystyle f=L\cdot {\sqrt {x^{2}+y^{2))))$

Variace a zobecnění

Variace rotace geodetického podgrafu libovolné -Lipschitzovy funkce nepřesahuje . [2] $L$ $2\cdot L$
Variace rotace nejkratší křivky na uzavřené konvexní ploše je omezena univerzální konstantou. [3]

Poznámky

↑ V. V. Úsov. "Na délce kulového obrazu geodézy na konvexním povrchu." Siberian Mathematical Journal 17.1 (1976), s. 233-236
↑ ID Berg. "Odhad celkového zakřivení geodetiky v euklidovském 3-prostoru s hranicí." Geom. Dedicata 13 (1982), str. 1–6.
↑ N. Lebedeva, A. Petrunin. O úplném zakřivení minimalizační geodetiky na konvexních plochách // Algebra i Analiz. - 2017. - T. 29 , č. 1 . — S. 189–208 . (Ruština)