Fermatova věta o polygonálních číslech

Fermatova věta o polygonálních číslech říká, že jakékoli přirozené číslo je reprezentovatelné jako součet nejvýše -gonálních čísel . $n$ $n$

Příklady

Příklady dělení přirozených čísel od 1 do 30 podle Fermatovy věty [1] :

Číslo	Součet nejvýše tří trojúhelníkových čísel	Součet nejvýše čtyř čtvercových čísel	Součet nejvýše pěti pětiúhelníkových čísel
jeden	jeden	$jeden$	jeden
2	1+1	1+1	1+1
3	3	1+1+1	1+1+1
čtyři	3+1	$2^{2}$	1+1+1+1
5	3+1+1	$2^{2}+1$	5
6	6	$2^{2}+1+1$	5+1
7	6+1	$2^{2}+1+1+1$	5+1+1
osm	6+1+1	$2^{2}+2^{2}$	5+1+1+1
9	6+3	$3^{2}$	5+1+1+1+1
deset	deset	$3^{2}+1$	5+5
jedenáct	10+1	$3^{2}+1+1$	5+5+1
12	6+6	$2^{2}+2^{2}+2^{2}$	12
13	10+3	$3^{2}+2^{2}$	12+1
čtrnáct	10+3+1	$3^{2}+2^{2}+1$	12+1+1
patnáct	patnáct	$3^{2}+2^{2}+1+1$	5+5+5
16	15+1	$4^{2}$	5+5+5+1
17	10+6+1	$4^{2}+1$	12+5
osmnáct	15+3	$3^{2}+3^{2}$	12+5+1
19	10+6+3	$3^{2}+3^{2}+1$	12+5+1+1
dvacet	10+10	$4^{2}+2^{2}$	5+5+5+5
21	21	$4^{2}+2^{2}+1$	5+5+5+5+1
22	21+1	$3^{2}+3^{2}+2^{2}$	22
23	10+10+3	$3^{2}+3^{2}+2^{2}+1$	22+1
24	21+3	$4^{2}+2^{2}+2^{2}$	12+12
25	15+10	$5^{2}$	12+12+1
26	15+10+1	$5^{2}+1$	12+12+1+1
27	21+6	$5^{2}+1+1$	22+5
28	28	$5^{2}+1+1+1$	22+5+1
29	28+1	$5^{2}+2^{2}$	12+12+5
třicet	15+15	$5^{2}+2^{2}+1$	12+12+5+1

Historie

Věta je pojmenována po Pierru Fermatovi , který toto tvrzení předložil v roce 1638 bez důkazu, ale slíbil, že jej představí v samostatném článku, který se nikdy neobjevil [2] . V roce 1770 Lagrange dokázal tuto větu pro čtvercová čísla [2] . Gauss dokázal v roce 1796 větu pro trojúhelníková čísla. Mladý Gauss svůj nález doprovodil deníkovým záznamem: " Heureka !" [3] a publikoval důkaz v knize Aritmetická vyšetřování . Tento Gaussův výsledek je známý jako „Eurekova věta“ [4] Cauchy tuto větu zcela dokázal v roce 1813. [2] Následující důkazy jsou založeny na lematech dokázaných Cauchym [5] .

Speciální případy

Nejzajímavější jsou čtvercová a trojúhelníková pouzdra. Lagrangeova věta o čtyřech čtvercích součtu spolu s Legendreovou větou o třech čtvercích řeší Waringův problém pro . A v případě trojúhelníkových čísel umožňuje nahrazení čtverce čtvercovým polynomem snížit požadovaný počet členů. ${\displaystyle m=n^{2))$ $m={\frac {n(n+1)}{2))$ $n=2$

Poznámky

↑ Violant-y-Holtz, Albert. Záhada farmy. Tři století trvající výzva k matematice. - M. : De Agostini, 2014. - S. 146. - 160 s. — (Svět matematiky: ve 45 svazcích, svazek 9). — ISBN 978-5-9774-0625-3 .
↑ 1 2 3 Heath, Sir Thomas Little (1910), Diophantus Alexandrijský, dějiny řecké algebry , Cambridge University Press, str. 188 , < https://archive.org/details/diophantusofalex00heatiala > .
↑ Bell, Eric Temple (1956), Gauss, princ matematiků, in Newman, James R., The World of Mathematics , sv. I, Simon & Schuster , s. 295–339 . Dover reprint, 2000, ISBN 0-486-41150-8 .
↑ Ono, Kene; Robins, Sinai & Wahl, Patrick T. (1995), O reprezentaci celých čísel jako součtů trojúhelníkových čísel , Aequationes Mathematicae T. 50 (1–2): 73–94 , DOI 10.1007/BF01831114 .
↑ Nathanson, Melvyn B. (1987), A short proof of Cauchy's polygonal number teorem , Proceedings of the American Mathematical Society vol . 99 (1): 22–24 , DOI 10.2307/2046263

Odkazy

Weisstein, Eric W. Fermat's Polygonal Number Theorem (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Nathanson, Melvyn B. (1996), Teorie aditivních čísel The Classical Bases , Berlin: Springer , ISBN 978-0-387-94656-6 . Obsahuje důkaz Lagrangeovy věty a věty o mnohoúhelníkových číslech.