Frobeniova-Perronova věta

Frobenius-Perronova věta je věta o největším vlastním čísle reálné čtvercové matice s kladnými složkami. Tato věta má četné aplikace v teorii pravděpodobnosti (ergodicity Markovových řetězců); v teorii dynamických systémů; v ekonomii; v demografii; v sociálních sítích; ve vyhledávačích.

Ověřeno Oscarem Perronem ( 1907) a nezávisle Georgem Frobeniusem (1912). Nápad použít tuto větu k určení pořadí hráčů v turnajích je dílem Edmunda Landaua .

Formulace

Nechť je čtvercová matice s přísně pozitivními reálnými prvky, pak platí následující tvrzení: $A$

největší vlastní hodnota v absolutní hodnotě je skutečná a přísně kladná; $r$
toto vlastní číslo je jednoduchým kořenem charakteristického polynomu ;
odpovídající vlastní vektor má (přesněji může být zvolen tak, aby měl) přísně kladné souřadnice, všechny ostatní vlastní vektory tuto vlastnost nemají; $r$
vlastní hodnota splňuje nerovnosti $r$

\min _{i}\sum _{j}a_{ij}\leqslant r\leqslant \max _{i}\sum _{j}a_{ij}.

Viz také

Operátor Perron-Frobenius

Literatura

Perron, Oskar (1907), Zur Theorie der Matrices , Mathematische Annalen T. 64 (2): 248–263 , DOI 10.1007/BF01449896
Frobenius, Georg (1912), Ueber Matrizen aus nicht negativen Elementen, Sitzungsber. Konigl. Preuss. Akad. Wiss. : 456–477
Frobenius, Georg (1908), Über Matrizen aus positiven Elementen, 1, Sitzungsber. Konigl. Preuss. Akad. Wiss. : 471–476
Frobenius, Georg (1909), Uber Matrizen aus positiven Elementen, 2, Sitzungsber. Konigl. Preuss. Akad. Wiss. : 514–518
Gantmakher F. R. Theory of Matrices, - M .: Nauka 1966, 576s.