Chaplyginova věta

Chaplyginův teorém je existenční teorém pro řešení Cauchyho problému pro obyčejnou diferenciální rovnici prvního řádu , která je řešena s ohledem na nejvyšší derivaci . Patří S. A. Chaplyginovi (1919) [1] . Je to jeden z teorémů metody diferenciálních nerovnic .

Prohlášení věty

Zvažte následující diferenciální rovnici prvního řádu s počáteční podmínkou v bodě : $x=a$

y'=f(x,y),\quad x\in (a,b],

(1.1)

y(a)=y^{a}.

(1.2)

K formulaci Chaplyginovy věty pro problém (1.1-1.2) potřebujeme řadu definic.

Definice. Spodní a horní (bariérové) řešení problému (1.1–1.2) jsou funkce a , patřící do , a takové, že ${\underline {\omega }}(x)$ ${\overline {\omega ))(x)$ $C^{1}[a,b]$

1)\ {\underline {\omega }}(a)<y^{a}<{\overline {\omega }}(a),

(2.1)

2){\begin{array}{c}{\underline {\omega }}'(x)<f(x,{\underline {\omega }}(x)),\\[.5ex] {\overline {\omega }}'(x)>f(x,{\overline {\omega }}(x)),\end{array}}\ \forall x\in [a,b].

(2.2)

Definice. Klasické řešení úlohy (1.1–1.2) je funkce , která patří do rovnice (1.1) a splňuje ji pro každou a počáteční podmínku (1.2) . $y(x)$ $C^{1}(a,b]\cap C[a,b]$ $x\in(a,b]$

Věta (Chaplygin). Nechť existuje dolní a horní řešení úlohy (1.1–1.2) takové, že ${\underline {\omega }}(x)$ ${\overline {\omega ))(x)$

\ f(x,y)\in C({\mathfrak {B)))

(3.1)

kde . Pak existuje alespoň jedno klasické řešení úlohy (1.1–1.2) na intervalu a pro každé řešení této úlohy a libovolné řešení platí: ${\mathfrak {B}}\equiv [a,b]\times [{\underline {\omega }}(x),{\overline {\omega }}(x)]$ $[a,b]$ $y(x)$ $x\in[a,b]$

{\underline {\omega }}(x)<y(x)<{\overline {\omega }}(x).

(3.2)

Viz také

Nagumova věta

Poznámky

↑ Bogolyubov, 1983 , str. 516.

Literatura

Bogolyubov A. N. Matematika. Mechanika. Životopisný průvodce. - Kyjev: Naukova Dumka , 1983. - 639 s.
Komlenko Yu.V. Chaplyginův teorém pro lineární diferenciální rovnici druhého řádu s retardovaným argumentem // Matem. Poznámky , 1967, 2 , č. 3. - S. 301-306.
Myshkis A. D. I. M. Vinogradov. Chaplyginova věta // Matematická encyklopedie. — M.: Sovětská encyklopedie . - 1977-1985. (Ruština)// Matematická encyklopedie. T. 5. - M . : Sov. encyklopedie , 1985.