Challova věta o klasifikaci pohybů

Challův teorém klasifikuje všechny izometrické transformace (pohyby) roviny.

Pojmenováno po Michelu Challovi . Některá další tvrzení ve fyzice se také nazývají Shallův teorém .

Formulace

Letadlo

Jakýkoli pohyb roviny zachovávající orientaci je buď rotace (zejména středová symetrie , stejně jako mapování identity ) nebo paralelní posun .

Jakýkoli pohyb roviny měnící orientaci je axiální nebo posuvná symetrie .

Prostor

Jakýkoli pohyb prostoru zachovávající orientaci je posuvným zatáčením .

Jakýkoli pohyb prostoru měnící orientaci je složením zrcadlové symetrie a posuvné rotace.

Důkaz

Hlavní myšlenky důkazu:

Jakýkoli pohyb je jednoznačně definován třemi různými body a jejich obrázky.
Jakýkoli pohyb může být reprezentován jako kompozice ne více než tří osových symetrií .
Výčet možností: pohyb lze znázornit jako kompozici jedné, dvou nebo tří osových souměrností.

Lemma tří hřebíků

Jakýkoli pohyb je jednoznačně definován třemi neležícími body a jejich obrázky. Jinými slovy, pro všechny nelineární body a jejich obrazy existuje jedinečný pohyb $A, B, C$ $A',B',C'$ $f:A\mapsto A',B\mapsto B',C\mapsto C'$

Důkaz

Vezměte si jakýkoli bod a jeho obraz . - pohyb, což znamená ; z čehož vyplývá, že leží na kružnici se středem v a poloměrem . $D\neq A,B,C$ $D'$ $F$ $AD=A'D'$ $D'$ $A'$ $INZERÁT$

Podobný argument pro body a ukazuje, že také leží na kružnici se středem v a poloměrem a na kružnici se středem v a poloměrem . $B$ $C$ $D'$ $B'$ $BD$ $C'$ $CD$

Protože tři kružnice, jejichž středy neleží na jedné přímce, se mohou protínat pouze v jednom bodě, existuje pro každý bod jedinečný obrázek . Toto tvrzení je ekvivalentní jedinečnosti pohybu. $D'$ $D$

Lemma na třech symetriích

Jakýkoli pohyb může být reprezentován jako kompozice ne více než tří osových symetrií . Jinými slovy, jakýkoli pohyb je reprezentovatelný buď jako nebo jako nebo jako . $F$ ${\displaystyle S_{l))$ $S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}$ $S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}\circ S_{l_{3}}$

Důkaz

Vezměme si libovolný pohyb a body s jejich obrázky . Pokud dokážeme, že pro existuje složení symetrií ekvivalentní , pak pomocí lemmatu tři hřebíky v obecném případě. $F$ $A, B, C$ $A',B',C'$ $A, B, C$ $G$ $F$ $f = g$

Všimněte si, že od a $S_{l_{i}}\circ \cdots \circ S_{l_{1}}\circ f=Id\Leftrightarrow f=S_{l_{1}}\circ \cdots \circ S_{l_{i }}$ $S_{l}^{-1}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}S_{l}$ $(f\circ g)^{-1}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}g^{-1}\circ f^{-1}$

Najdeme zobrazení ve formě kompozice osových souměrností: $F$

Uvažujme symetrii takovou, že . S takovou symetrií bod půjde buď do nějakého nového bodu, nebo zpět do . Bod půjde podobně buď k některým, nebo zpět k . Jestliže a vrátil se k a , pak , kde je identická transformace . V tom případě . $S_{l_{1))$ $A\mapsto A'$ $B$ ${\displaystyle B'_{1))$ $B'$ $C$ $C'_1$ $C'$ $B$ $C$ $B'$ $C'$ $S_{l_{1}}\circ f=Id$ $ID$ $f=S_{l_{1))$
Nyní, pokud je bod , pak zvažte symetrii takovou, že . Všimněte si, že je to kolmice na úsečku podle definice osové symetrie. ${\displaystyle B\mapsto B'_{1))$ $S_{l_{2))$ $B'_{1}\mapsto B'$ $l_{2}$ ${\displaystyle B'B'_{1))$

$F$ , jsou pohyby, a tedy . Proto leží na kolmici k úsečce (vlastností kolmice), tedy na přímce . Z toho plyne, že při přeměně - . Pokud , tak podobně , tedy kdy půjde do . V opačném případě to znamená, že opět přejde buď na některé nebo na . Celkem, pokud nebo v ; nebo v , pak . To znamená, že . $S_{l_{1))$ $AB{\overset {\underset {\mathrm {f} }{}}{=}}A'B'~{\text{u}}~AB{\overset {\underset {\mathrm {S_{ l_{1}}} }{}}{=}}A'B'_{1}$ $A'$ ${\displaystyle B'B'_{1))$ $l_{2}$ $S_{l_{2))$ $A'\mapsto A'$ $C'\mapsto C$ $CB=^{f}C'B'=^{S_{l_{1}}}CB'_{1}$ $S_{l_{2))$ $C$ $C'$ ${\displaystyle C\mapsto C'_{1))$ $C'_1$ $C'_2$ $C'$ $C'_{1}\mapsto C'$ $S_{l_{2))$ $C\mapsto C'$ $S_{l_{1))$ $S_{l_{2}}\circ S_{l_{1}}\circ f=Id$ $f=S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}$

Pokud , zvažte symetrii takovou , že . ${\displaystyle C\mapsto C'_{1}\mapsto C'_{2))$ $S_{l_{3))$ $C'_{2}\mapsto C'$

Je zřejmé, že je kolmice na úsečku . , , jsou pohyby, a tedy . Proto patří do kolmice k segmentu , to je . To znamená, že se překládá do . Pokud , tak podobně . V opačném případě tedy , také leží na . To znamená, že to znamená . Proto, , což znamená . $l_3$ $C'C'_{2}$ $F$ $S_{l_{1))$ $S_{l_{2))$ $AC{\overset {\underset {\mathrm {f} }{}}{=}}A'C'{\overset {\underset {\mathrm {S_{l_{1}}} }{}} {=}}A'C'_{1}{\overset {\underset {\mathrm {S_{l_{2}}} }{}}{=}}A'C'_{2}$ $A'$ $C'C'_{2}$ $l_3$ $S_{l_{3))$ $A'$ $A'$ $B\mapsto B'$ $B'\in l_{3}$ $B\mapsto B'_{1}\mapsto B'$ $BC{\overset {\underset {\mathrm {f} }{}}{=}}B'C'{\overset {\underset {\mathrm {S_{l_{1}}} }{}} {=}}B'_{1}C'_{1}{\overset {\underset {\mathrm {S_{l_{2}}} }{}}{=}}B'C'_{2}$ $B'$ $l_3$ $S_{l_{3))$ $B'$ $B'$ $S_{l_{3}}\circ S_{l_{2}}\circ S_{l_{1}}\circ f=Id$ $f=S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}\circ S_{l_{3}}$

Seznam možností

Nyní, každý daný pohyb může být reprezentován jako složení ne více než tři symetrie lemma tří symetrií . $F$

Výslednou rovnost klasifikujeme, čímž klasifikujeme jakýkoli daný pohyb:

Jestliže , pak je osová symetrie . ${\displaystyle f=S_{l))$ $F$
Jestliže , pak buď a potom je rovnoběžný posun , nebo a potom je rotace . $f=S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}$ ${\displaystyle l_{1}\paralelní l_{2))$ $F$ ${\displaystyle l_{1}\nparalelní l_{2))$ $F$
Jinak a pak - posuvná symetrie (podle vlastnosti posuvné symetrie). $f=S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}\circ S_{l_{3}}$ $F$

Aplikace

Hjelmslevův střední teorém

Zdroje

Volitelný kurz matematiky. 7-9 / Komp. I. L. Nikolskaja. - M .: Vzdělávání , 1991. - S. 228-229. — 383 s. — ISBN 5-09-001287-3 .
Challův teorém v problémech
Věty o skladbě pohybu