Motýlí teorém

Motýlí teorém je klasický teorém v planimetrie .

Historie

Publikoval v roce 1803 Wallace v anglickém časopise The Gentlemen's MathematicalPozději byl několikrát znovu otevřen.

Formulace

Nechť jsou dvě libovolné tětivy AB a CD stejné kružnice protaženy bodem M , který je středem tětivy PQ nějaké kružnice . Nechť tětivy AD a BC protnou tětivu PQ v bodech X a Y . Potom M je středem segmentu XY .

Poznámky

Platí také obrácená věta o motýlovi :

Nechť jsou dvě libovolné struny AB a CD taženy bodem M uvnitř určité kružnice . Nechť tětivy AD a BC protnou libovolnou tětivu PQ v bodech X a Y . Pak je-li M středem segmentu XY , pak je to také středem akordu PQ .

O důkazech

Motýlí teorém má velké množství různých důkazů, a to jak v rámci elementární geometrie, tak pomocí metod, které ji přesahují.

Zejména v projektivním modelu Lobachevského roviny je trojúhelník centrálně symetrický a věta z toho snadno vyplývá. $\triangle AMD$ $\triangle BMC$

Použití projekce dvojitých poměrů: Zvažte dvojitý poměr bodů a promítněte jej na kružnici z bodu . Body a půjdou do sebe, protože patří do kruhu, a body a půjdou do bodů , resp. Dostaneme (to druhé by mělo být interpretováno jako dvojnásobný poměr bodů v komplexní rovině). Promítneme zpět na přímku se středem v bodě , dostaneme . Dvojitý vztah vypíšeme definicí, získáme potřebnou rovnost. $(P,M,X,Q)$ $A$ $P$ $Q$ $M$ $X$ $B$ $D$ $(P,M,X,Q)=(P,B,D,Q)$ $PQ$ $C$ $(P,M,X,Q)=(P,Y,M,Q)$
Používá se také inverzní metoda [1]

Variace a zobecnění

Sharyginovo zobecnění [2] : Nechť je struna AB dána na kružnici , body M a N na ní a AM = BN . Přes body M a N jsou taženy tětivy PQ a RS . Přímky QS a RP protínají tětivu AB v bodech K a L , pak AK = BL .

Odkazy

Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Nová setkání s geometrií. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Knihovna matematického kroužku).
Chentsov N. N., Shklyarsky D. O., Yaglom I. M. Vybrané problémy a věty elementární matematiky. Geometrie (planimetrie). — M .: Gostekhizdat, 1952.
Zhizhilkin I. D. Inversion .. - M . : MTsNMO, 2009. - S. 36.

Poznámky

↑ Zhizhilkin I. D. Inversion .. - M . : MTSNMO, 2009.
↑ Protasov V. Yu., Tikhomirov V. M. Geometrická mistrovská díla I. F. Sharygina. V knize "Geometrická olympiáda pojmenovaná po I. F. Sharygin", str. 146.