Věta o pohybu těžiště soustavy

Věta o pohybu těžiště (středu setrvačnosti) soustavy je jednou z teorémů dynamiky , důsledkem Newtonových zákonů . Tvrdí, že zrychlení těžiště soustavy nezávisí na vnitřních silách vzájemného působení mezi tělesy soustavy a dává toto zrychlení do souvislosti s vnějšími silami působícími na soustavu [1] [2] .

Systém zmíněný ve větě může být jakýkoli mechanický systém, například množina hmotných bodů , prodloužené těleso nebo množina prodloužených těles.

Standardní tvrzení věty

Často, když uvažujeme o pohybu systému, je užitečné znát zákon pohybu jeho těžiště. V obecném případě je tento zákon, který je obsahem věty o pohybu těžiště, formulován následovně [1] :

Důkaz

Nechť se systém skládá z hmotných bodů s hmotnostmi a poloměrovými vektory . Těžiště (střed setrvačnosti) je [1] [3] geometrický bod, jehož vektor poloměru splňuje rovnost $N$ $m_{i}$ $\vec r_i$ ${\vec R}_{c}$

{\vec {R}}_{c}={\frac {\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}}{M}}, \qquad \qquad

kde je hmotnost celého systému rovna $M$ $\sum \limits _{i}m_{i}.$

Při dvounásobné diferenciaci v čase pro zrychlení těžiště získáme: ${\vec a}_{c}$

{\vec {a}}_{c}={\frac {\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}}{M}}, \qquad \qquad

kde je zrychlení hmotného bodu s číslem i . ${\vec a}_{i}$

Pro další úvahu rozdělujeme všechny síly působící na tělesa soustavy do dvou typů:

vnější - síly působící od těles, která nejsou zahrnuta v uvažovaném systému. Výslednice vnějších sil působících na hmotný bod s číslem i , značí se ; $\vec F_i$
vnitřní - síly, kterými se tělesa samotného systému vzájemně ovlivňují. Sílu, kterou bod s číslem k působí na bod s číslem i , budeme označovat . V souladu s tím bude síla nárazu i -tého bodu na k -tý bod označena . Pro vůli ${\vec f}_{{i,k}}$ ${\vec f}_{{k,i}}$ $i=k$ ${\vec f}_{{i,k}}=0.$

Pomocí zavedeného zápisu lze do tvaru zapsat druhý Newtonův zákon pro každý z uvažovaných hmotných bodů

m_{i}{\vec {a}}_{i}={\vec {F}}_{i}+\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i, k}.\qquad \qquad

Sečtením takových rovnic pro všechna i dostaneme:

\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}+\sum \ limity _{i}\součet \limity _{k}{\vec {f}}_{i,k}.\qquad \qquad

Výraz je součtem vnitřních sil působících v soustavě. Vezměme nyní v úvahu, že podle třetího Newtonova zákona odpovídá v tomto součtu každá síla takové síle, která je a je tedy splněna. Protože celý součet se skládá z takových dvojic, je součet sám roven nule. Takto, $\sum \limits _{i}\sum \limits _{k}{\vec f}_{{i,k}}$ ${\vec f}_{{i,k}}$ ${\vec f}_{{k,i}}$ ${\vec f}_{{i,k}}=-{\vec f}_{{k,i}}$ ${\vec f}_{{i,k}}+{\vec f}_{{k,i}}=0.$

\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}.\qquad \ qquad

Dále, když označíme a dosadíme výsledný výraz do rovnosti pro , dostaneme se k rovnici $\sum \limits _{i}{\vec F}_{i}={\vec F}$ ${\vec a}_{c}$

{\vec {a}}_{c}={\frac {\vec {F}}{M}}\,\,\,

nebo

\,\,M{\vec {a}}_{c}={\vec {F}}.\qquad \qquad

Pohyb těžiště je tedy určován pouze vnějšími silami a vnitřní síly na tento pohyb nemohou mít žádný vliv. Poslední vzorec je matematickým vyjádřením věty o pohybu těžiště soustavy.

Alternativní formulace věty

Tvar konečného vzorce pro je přesně stejný jako u vzorce druhého Newtonova zákona. Z toho vyplývá platnost takové formulace věty o pohybu těžiště [1] [3] : ${\vec a}_{c}$

Zákon zachování pohybu těžiště

V nepřítomnosti vnějších sil a také když součet všech vnějších sil je roven nule, zrychlení těžiště je nulové, a, proto, jeho rychlost je konstantní. Platí tedy tvrzení, které je obsahem zákona zachování pohybu těžiště:

Zejména pokud bylo těžiště zpočátku v klidu, pak za těchto podmínek bude i nadále v klidu.

Ze zákona zachování pohybu těžiště vyplývá, že vztažná soustava spojená s těžištěm uzavřené soustavy je inerciální. Použití takových referenčních systémů při studiu mechanických vlastností uzavřených systémů je výhodné, protože tímto způsobem je vyloučen rovnoměrný a přímočarý pohyb systému jako celku.

Jsou případy, kdy součet vnějších sil není roven nule, ale jeho průmět na libovolný směr je roven nule. V tomto případě je průmět zrychlení těžiště v tomto směru také roven nule, a proto se rychlost těžiště v tomto směru nemění.

Význam věty

Dokázaná věta rozšiřuje a zdůvodňuje možnosti využití pojmu hmotný bod k popisu pohybu těles. Pokud se totiž těleso pohybuje translačně, pak je jeho pohyb zcela určen pohybem těžiště, což je zase popsáno výslednou rovnicí pro . Progresivně se pohybující těleso lze tedy vždy považovat za hmotný bod s hmotností rovnou hmotnosti tělesa, bez ohledu na jeho geometrické rozměry. Kromě toho lze tělo považovat za hmotný bod ve všech případech, kdy vzhledem k podmínkám problému rotace těla není zajímavá a pro určení polohy těla stačí znát polohu jeho těžiště. ${\vec a}_{c}$

Praktická hodnota věty spočívá v tom, že při řešení problému určení charakteru pohybu těžiště umožňuje zcela vyloučit z uvažování všechny vnitřní síly.

Historie

Zákon zachování pohybu těžiště formuloval Isaac Newton ve svém slavném díle "The Mathematical Principles of Natural Philosophy ", vydaném v roce 1687 . I. Newton napsal: „Těžiště soustavy dvou nebo více těles ze vzájemného působení těles nemění ani její klidový, ani pohybový stav; proto je těžiště soustavy všech na sebe působících těles (při absenci vnějších akcí a překážek) buď v klidu, nebo se pohybuje rovnoměrně a přímočaře“ [4] . Dále došel k závěru: „Translační hybnost jednotlivého tělesa nebo soustavy těles je tedy vždy nutné vypočítat z pohybu jejich těžiště“ [4] .

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 3 4 Targ S. M. Krátký kurz teoretické mechaniky. - M .: Vyšší škola, 1995. - S. 273-280. — 416 s. — ISBN 5-06-003117-9 .
↑ Sivukhin D.V. Obecný kurz fyziky. — M .: Fizmatlit; Nakladatelství MIPT, 2005. - T. I. Mechanika. - S. 115-116. — 560 str. — ISBN 5-9221-0225-7 .
↑ 1 2 Targ S. M. Střed setrvačnosti (těžiště) // Fyzikální encyklopedie : [v 5 svazcích] / Kap. vyd. A. M. Prochorov . - M . : Velká ruská encyklopedie , 1999. - V. 5: Stroboskopické přístroje - Jas. - S. 624-625. — 692 s. — 20 000 výtisků. — ISBN 5-85270-101-7 .
↑ 1 2 Isaac Newton . Matematické principy přírodní filozofie = Philosophia naturalis principia matematica / Překlad z latiny a poznámky A. N. Krylova . - M .: Nauka, 1989. - S. 45-49. — 688 s. - (Klasika vědy). - ISBN 5-02-000747-1 .