Věta o dvou policistech

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 2. ledna 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Věta o dvou policistech je teorém v matematické analýze o existenci limity pro funkci , která je „vložená“ mezi dvě další funkce, které mají stejnou limitu. Formulováno následovně:

Pokud je funkce taková, že pro všechny v nějakém okolí bodu , a funkce a mají stejnou limitu v , pak existuje limita funkce v , která se rovná stejné hodnotě, tj. $y=f(x)$ $\varphi (x)\leqslant f(x)\leqslant \psi (x)$ $X$ $A$ $\varphi(x)$ $\psi(x)$ $x\do a$ $y=f(x)$ $x\do a$

\lim _{{x\to a}}\varphi (x)=\lim _{{x\to a}}\psi (x)=A\Šipka doprava \lim _{{x\to}}f( x) = A.

Tento název má také podobnou větu o limitu posloupnosti , formulovanou takto:

Pokud je posloupnost taková, že pro všechny a posloupnosti a mají stejnou mez v , pak existuje limita posloupnosti v , která se rovná stejné hodnotě, tj. $a_n$ $b_{n}\leqslant a_{n}\leqslant c_{n}$ $n$ $b_n$ $c_n$ $n\to\infty$ $a_n$ $n\to\infty$

\lim _{{n\to \infty }}b_{n}=\lim _{{n\to \infty }}c_{n}=A\Šipka doprava \lim _{{n\to \infty }}a_ {n}=A.

Důkaz

Z nerovnosti dostaneme nerovnost . Podmínka nám umožňuje říci, že pro všechny existuje okolí, ve kterém jsou nerovnosti a pravdivé . Z výše uvedených nerovností vyplývá, že pro , což splňuje definici limity , tedy [1] . $\varphi (x)\leqslant f(x)\leqslant \psi (x)$ $\varphi (x)-A\leqslant f(x)-A\leqslant \psi (x)-A$ $\lim \limits _{{x\do a}}\varphi (x)=A=\lim \limits _{{x\do a}}\psi (x)$ $\varepsilon >0$ $U_{a}$ $\left|\varphi(x)-A\right|<\varepsilon$ $\left|\psi (x)-A\vpravo|<\varepsilon$ $\left|f(x)-A\right|<\varepsilon$ $x\v U_{a}$ $\lim \limits _{{x\to a}}f(x)=A$

Název a zahraniční terminologie

Název teorému pochází ze skutečnosti, že pokud dva policisté vedou zadrženého na policejní stanici pod rukama, je nucen jít s nimi.

V různých zemích se tato věta nazývá různě. Věta o kontrakci, věta o střední funkci, věta o dvou karabiniérech , sendvičová věta (nebo sendvičové pravidlo), věta o třech strunách, věta o dvou četnících , věta o dvou policistech atd.

Viz také

Poznámky

↑ Demidovich B.P. , Kudryavtsev V.A. Krátký kurz vyšší matematiky. — M .: AST ; Astrel, 2007. - S. 121-122. - ISBN 978-5-17-004601-0 . - ISBN 978-5-271-01318-8 . - ISBN 978-985-16-4561-5 .

Odkazy

Diskuse o názvu věty v různých zemích