Věta o modularitě

Věta o modularitě je matematický teorém , který zakládá důležitý vztah mezi eliptickými křivkami nad polem racionálních čísel a modulárními formami , což jsou určité analytické funkce komplexní proměnné . V roce 1995 Andrew Wiles s pomocí Richarda Taylora dokázal tento teorém pro všechny semistabilní eliptické křivky nad polem racionálních čísel. Důkaz zbývajících (nesemistovatelných) případů věty byl výsledkem práce Christopha Breuila, Brian Conrad, Fred Diamonda Richard Taylor. Až do roku 2001 (úplný důkaz byl získán v roce 1999 ), teorém byl nazýván Taniyama-Shimura-Weil domněnka (nebo Taniyama-Shimura-Weil domněnka ).

Věta o modularitě je součástí Langlandsova programu , který se specificky snaží najít vztah automorfních forem nebo automorfních reprezentací (příhodné zobecnění modulární formy) s obecnějšími objekty v algebraické geometrii , jako jsou eliptické křivky nad algebraickým číselným polem. Většina hypotéz v tomto programu dosud nebyla prokázána.

Formulace

Jestliže je prvočíslo a je eliptickou křivkou nad ( pole racionálních čísel ), pak můžeme rovnici zjednodušit tím, že definujeme modulo ; pro jakoukoli konečnou množinu hodnot lze získat eliptickou křivku nad konečným polem prvků . Uveďme posloupnost , která je důležitým invariantem eliptické křivky . Jakákoli modulární forma nám také dává posloupnost čísel (pomocí Fourierovy transformace ). Eliptická křivka, jejíž sekvence se shoduje s posloupností modulární formy, se nazývá modulární. $p$ $E$ $\mathbb {Q}$ $E$ $p$ $p$ $F_{p}$ $n_{p}$ $a_{p}=n_{p}-p$ $E$

Věta o modularitě říká, že všechny eliptické křivky jsou modulární. $\mathbb {Q}$

Historie

Toto tvrzení poprvé předložil jako hypotéza Yutaka Taniyama v září 1955 . Spolu s Goro Shimurou v roce 1957 formulaci trochu zpřesnil , ale kvůli psychickým problémům nemohl pokračovat [1] [2] .

V 60. letech 20. století byla hypotéza zahrnuta do Langlandsova programu pro sjednocení matematických hypotéz. Francouz Andre Weil si na hypotézu vzpomněl v 70. letech a zahájil její aktivní studium , proto se tato hypotéza často nazývá hypotéza Taniyama-Shimura-Weil .

Tato hypotéza se začala široce zajímat, až když v roce 1985 Gerhard Freinavrhl, že Taniyama-Shimura domněnka (pak se tomu říkalo) je zobecněním Fermatovy poslední věty , protože jakýkoli protipříklad k Fermatově poslední větě by nakonec vedl k nemodulární eliptické křivce. V roce 1986 Ken Ribetprokázal tento předpoklad. V roce 1995 Andrew Wiles a Richard Taylor dokázali speciální případ Taniyama-Shimurovy věty (případ semistabilních eliptických křivek), což stačilo k prokázání Fermatovy poslední věty [3] .

Věta o modularitě byla plně prokázána v roce 1999 jako výsledek práce Christopha Breuila, Brian Conrad, Fred Diamonda Richard Taylor , který na základě Wilesovy práce dokázal zbývající (nepolostabilní) případy.

Další teorémy teorie čísel vyplývají z teorému modularity, podobný Fermatově poslední větě. Například „krychli čísla nelze zapsat jako součet dvou prvočísel , která jsou -tou mocninou přirozeného čísla, jestliže “ [4] . $n$ $n\geqslant 3$

V březnu 1996 obdržel Wiles spolu s Robertem Langlandsem Wolfovu cenu . Ačkoli žádný z nich zcela neprokázal teorém, tvrdilo se, že významně přispěli, což značně usnadnilo další důkaz [5] .

Poznámky

↑ Stewart, 2016 , str. 196.
↑ Taniyama spáchal sebevraždu v roce 1958 a zanechal za sebou poněkud záhadnou poznámku. Asi o měsíc později jeho snoubenka Misako Suzuki spáchala sebevraždu a zanechala po sobě poznámku, že by se měla sejít se svým snoubencem.
↑ Solovjev Ju.P. Taniyamova domněnka a Fermatova poslední věta (neopr.) // Soros Educational Journal. - 1998. - únor. - S. 135-138 .
↑ Případ znal i Euler a sám Fermat. $n=3$ $n=4$
↑ Stewart, 2016 , str. 200

Odkazy

Darmon, Henry. Je oznámen důkaz úplného dohadu Shimura-Taniyama-Weil , Notices of the American Mathematical Society, sv. 46 (1999), No. 11. Obsahuje úvod do věty a přehled jejího důkazu.
Conrad, Brian, Fred Diamond, Richard Taylor. Modularita určitých potenciálně Barsotti-Tate Galoisových reprezentací , Journal of the American Mathematical Society 12 (1999), str. 521-567. Důkaz věty je uveden.

Literatura

Ian Stewart . Největší matematické problémy. — M. : Alpina literatura faktu, 2016. — 460 s. — ISBN 978-5-91671-507-1 .