Věta o přímočarých generátorech jednovrstvého hyperboloidu

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 9. září 2017; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Každým bodem jednovrstvého hyperboloidu procházejí dvě různé přímky , zcela umístěné na této ploše.

Důkaz

Uvažujme přímky a , dané jako průsečíky rovin : $L_{1}$ $L_{2}$

$L_{1}:\quad \alpha \left({x \over a}-{z \over c}\right)=\beta \left(1-{y \over b}\right);\ ;\beta \left({x \přes a}+{z \přes c}\vpravo)=\alpha \left(1+{y \přes b}\vpravo);\;\alpha ^{2}+\ beta ^{2}\neq 0$

$L_{2}:\quad \gamma \left({x \over a}-{z \over c}\right)=\delta \left(1+{y \over b}\right);\ ;\delta \left({x \over a}+{z \over c}\right)=\gamma \left(1-{y \over b}\right);\;\gamma ^{2}+\ delta ^{2}\neq 0$

Přímky leží celé na povrchu (abychom to viděli, stačí vynásobit rovnice rovin člen po členu). Navíc každým bodem plochy prochází jediná linie z rodiny a jediná linie z rodiny . Tyto řádky (tj. dvojice čísel a ) pocházejí z homogenních systémů lineárních algebraických rovnic : $L_{1}$ $L_{2}$ $M_{0}(X_{0},Y_{0},Z_{0})$ $L_{1}$ $L_{2}$ $\alpha ,\beta$ $\gamma ,\delta$

$\alpha ,\beta :\quad \alpha \left({X_{0} \over a}-{Z_{0} \over c}\right)=\beta \left(1-{Y_{0 } \přes b}\vpravo);\;\beta \left({X_{0} \přes a}+{Z_{0} \přes c}\vpravo)=\alpha \left(1+{Y_{0 }\přes b}\vpravo)$

$\gamma ,\delta :\quad \gamma \left({X_{0} \over a}-{Z_{0} \over c}\right)=\delta \left(1+{Y_{0 } \over b}\right);\;\delta \left({X_{0} \over a}+{Z_{0} \over c}\right)=\gamma \left(1-{Y_{0 }\přes b}\vpravo)$

jehož matice jsou degenerované (to znamená, že systémy mají netriviální řešení) a mají hodnost rovnou 1 (to znamená, že všechna řešení každého systému jsou proporcionální a definují jednu přímku). Zbývá dodat, že přímky se neshodují (stačí zkontrolovat nekolinearitu jejich směrových vektorů).

Viz také

Hyperboloidní