Věta o racionálních kořenech

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 22. listopadu 2021; kontroly vyžadují 4 úpravy .

V algebře , věta o racionálních kořenech (také test pro racionální kořeny ) definuje rámec pro racionální kořeny polynomu ve tvaru:

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}=0$

s celočíselnými koeficienty a . $a_{i}$ $a_{0},a_{n}\neq 0$

Věta říká, že každý racionální kořen , kde a jsou prvočísla , splňuje podmínku, že $x=p/q$ $p$ $q$

$p$ je dělitelem volného termínu , $a_{0}$

$q$ je dělitelem vedoucího koeficientu . $a_n$

Věta o racionálních kořenech je speciálním případem Gaussova lemmatu .

Aplikace

Věta se používá k nalezení všech racionálních kořenů polynomu, pokud nějaké existují. S jeho pomocí je určen konečný počet možných řešení, která mají být testována substitucí. Je-li nalezen racionální kořen , lze původní polynom beze zbytku rozdělit tak, aby se získal polynom nižšího stupně, jehož kořeny jsou také kořeny původního polynomu. $x=r$ $xr$

Kubická rovnice

Kubická rovnice v obecném tvaru:

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

s celočíselnými koeficienty má tři řešení v komplexních číslech . Pokud test na racionální odmocniny žádné neodhalí, pak jediným způsobem, jak vyjádřit řešení, je použít krychlové odmocniny . Pokud se však najde alespoň jedno racionální řešení r , uvedení ( x - r) ze závorek vede ke kvadratické rovnici , kterou lze řešit pomocí diskriminantu .

Důkaz

Nechat:

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0},a_{0 },...a_{n}\in Z$ .

Předpokládejme, že pro některá koprime celá čísla a : $P(p/q)=0$ $p$ $q$

$P\left({\frac {p}{q}}\right)=a_{n}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n- 1}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n-1}+...+a_{1}\left({\frac {p}{q}}\right)+ a_{0}=0$ .

Vynásobením obou stran rovnice , vyjmutím ze závorek a přenesením volného členu s opačným znaménkem na pravou stranu rovnice dostaneme: $q^{n}$ $p$

$p(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+...+a_{1}q^{n-1})=-a_ {0}q^{n}$ .

Je vidět, že je to dělitel . Ale a jsou prvočísla, což znamená, že musí být také dělitelem . $p$ ${\displaystyle a_{0}q^{n))$ $p$ $q$ $p$ $a_{0}$

Pokud naopak převedeme úvodní člen na pravou stranu rovnice a vyjmeme jej ze závorek, dostaneme: $q$

$q(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+...+a_{0}q^{n-1})= -a_{n}p^{n}$ .

Udělejme závěr o dělitelnosti [ 1] . $a_n$ $q$

Příklady

Příklad 1

Každý racionální kořen polynomu

$2x^{3}+x-1$

musí mít v čitateli dělitel jedna a ve jmenovateli dělitel dvě. Možné racionální kořeny jsou tedy a . Žádný z nich však výraz nenuluje, takže polynom nemá žádné racionální kořeny. $\pm {\frac {1}{2))$ $\pm 1$

Příklad 2

Každý racionální kořen polynomu

$x^{3}-7x+6$

musí mít v čitateli dělitel 6 a ve jmenovateli dělitel 1, ze kterých jsou možné kořeny . Z nich , a otočte výraz na nulu, což jsou kořeny polynomu. $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$ $jeden$ $2$ $-3$

Poznámky

↑ Arnold, Denise. 4jednotková matematika . - Melbourne: Edward Arnold, 1993. - 306 stran str. - ISBN 0340543353 , 9780340543351.

Literatura

Miller CD, Lial ML, Schneider DI Základy vysokoškolské algebry . — 3. vydání. — Scott & Foresman/Little & Brown Higher Education, 1990. — S. 216–221 . - ISBN 0-673-38638-4 .
Jones PS, Bedient JD Historické kořeny elementární matematiky . - Dover Courier Publications, 1998. - S. 116–117. — ISBN 0-486-25563-8 .
Larson R. Calculus: aplikovaný přístup . - Cengage Learning, 2007. - S. 23–24. - ISBN 978-0-618-95825-2 .