Věta o sčítání rychlosti

Věta o sčítání rychlostí je jednou z teorémů kinematiky , spojuje rychlosti hmotného bodu v různých vztažných soustavách . Tvrdí, že při komplexním pohybu hmotného bodu je jeho absolutní rychlost rovna součtu relativní a translační rychlosti [1] [2] .

Složený pohyb

Pohyb v mechanice je vždy uvažován ve vztahu k nějaké vztažné soustavě (FR). V některých případech je však účelné nebo dokonce nutné studovat pohyb hmotného bodu (MT) vzhledem ke dvěma různým referenčním systémům současně. Jedna z těchto vztažných soustav je podmíněně považována za nehybnou, základní a druhá za pohyblivou vzhledem k první. Potom lze pohyb bodu považovat za sestávající ze dvou pohybů: první je pohyb vzhledem k pohyblivé vztažné soustavě, druhý je pohyb společně s pohyblivou soustavou vzhledem ke stacionární soustavě. Takový pohyb bodu se nazývá komplexní nebo složený .

Definice

Podmíněně pevný referenční rámec se obvykle nazývá absolutní . V souladu s tím se pohyb, přemístění , rychlost a zrychlení bodu vzhledem k tomuto CO nazývá absolutní. Na obrázku je referenční systém K zvolen jako absolutní.

Podmíněně se pohybující referenční soustava se obvykle nazývá relativní . Pohyb, posunutí, rychlost a zrychlení bodu vzhledem k tomuto systému se také nazývá relativní. Systém K' na obrázku je relativní.

Pohyb, který provádí mobilní systém K' a všechny s ním pevně spojené body prostoru [3] vzhledem k systému K, se nazývá přenosný . Pokud se nějaký MT pohybuje vzhledem k mobilnímu systému K', pak se v obecném případě ten bod systému K', ve kterém se MT právě nachází, pohybuje také relativně vůči stacionárnímu systému K. Okamžitá rychlost tohoto bodu systému K' systém K' se nazývá přenosná rychlost MT.

Důkaz

Nechť je MT v určitém okamžiku v bodě A a po určité době v bodě B (viz obr.). Potom bude jeho posunutí vzhledem k soustavě K (absolutní posunutí) rovno . Bod A mobilního systému K' se pohyboval společně s K' v čase a skončil v bodě C, přičemž se pohyboval vzhledem k systému K (translační pohyb), znázorněný na obrázku vektorem . Z pohledu pozorovatele spojeného se systémem K' je bod C bod, kde se původně nacházel MT, vektor tedy představuje pohyb MT vzhledem k mobilnímu systému K', tedy relativní pohyb. . Z toho, co bylo řečeno, a vektorového diagramu na obrázku to vyplývá $\Delta t$ ${\vec {S}}_{a}$ ${\displaystyle}$ ${\vec {S}}_{e}$ ${\vec {S}}_{r}$

{\vec {S}}_{a}={\vec {S}}_{e}+{\vec {S}}_{r}.

Vydělením této rovnosti časovým intervalem a následným vyrovnáním na nulu v limitu, který dostaneme $\Delta t$

{\vec {v}}_{a}={\vec {v}}_{e}+{\vec {v}}_{r},

kde je absolutní, je obrazné a je relativní rychlost pohybu MT. ${\vec {v}}_{a}$ ${\vec {v}}_{e}$ ${\vec v}_{r}$

Výsledná rovnost je matematickým vyjádřením věty o sčítání rychlostí, která je formulována takto:

Věta o sčítání rychlosti se také nazývá pravidlo rychlostního rovnoběžníku [4] .

Diskuse

V obecném případě lze pohyb soustavy K' reprezentovat jako součet dvou pohybů: translační pohyb s rychlostí rovnou rychlosti počátku soustavy K' a rotační pohyb kolem okamžité osy procházející touto soustavou. původ. Lze ukázat, že translační rychlost , rychlost počátku souřadnic a úhlová rychlost rotačního pohybu soustavy spolu souvisí vztahem [5] ${\vec {v}}_{e}$ $\vec v_0$ ${\vec {\omega ))$

{\vec {v}}_{e}={\vec {v}}_{0}+[{\vec {\omega }}\times {\vec {r'}}].

Vezmeme-li v úvahu tuto rovnost, matematické vyjádření věty nabývá tvaru

{\vec {v}}_{a}={\vec {v}}_{0}+[{\vec {\omega }}\times {\vec {r'}}]+{\ vec{v}}_{r}.

Tvrzení věty, dokázané pro dva vztažné soustavy, lze snadno zobecnit na případ libovolného počtu z nich. Předpokládejme totiž, že soustava K, kterou jsme dosud považovali za nehybnou, se vůči nějaké třetí soustavě pohybuje. Pak pro absolutní rychlost MT v tomto systému, na základě dokázané věty, ${\displaystyle {\vec {v'_{a))))$

{\vec {v'_{a}}}={\vec {v'_{e}}}+{\vec {v}}_{e}+{\vec {v}}_{ r},

kde je přenosná rychlost bodu soustavy K, ve kterém se v daném časovém okamžiku nachází MT, jehož pohyb studujeme. Je zřejmé, že uvažováním podobným způsobem lze získat vzorec pro sčítání rychlostí vhodný pro libovolný počet vztažných soustav. ${\displaystyle {\vec {v'_{e))))$

Výrok věty o sčítání rychlosti je platný pouze tehdy, pokud jsou rychlosti uvedené ve větě mnohem menší než rychlost světla . Jinak by se měl použít vzorec pro sčítání relativistické rychlosti .

Poznámka . Vektor poloměru MT v referenčním rámci K může být vždy reprezentován jako součet dvou vektorů: $r(t)$

{\vec {r}}(t)={\vec {R}}(t)+{\vec {r′}}(t),

kde je vektor poloměru počátku pohyblivého souřadnicového systému a je vektor poloměru MT v pohyblivém rámci K'. Po diferenciaci implikuje rovnost ${\vec {R}} (t)$ ${\vec {r'}}(t)$

{\vec {v}}_{a}={\frac {d{\vec {R}}(t)}{dt}}+{\frac {d{\vec {r'}}( t)}{dt}}.

Výsledný poměr je platný pro jakýkoli MT a pro jakýkoli časový okamžik. Je však třeba mít na paměti, že v obecném případě se první člen součtu nerovná přenosové rychlosti a druhý se nerovná relativní rychlosti. Ve skutečnosti je rychlost počátku souřadnicového systému K' a v přítomnosti rotace systému se K' neshoduje s rychlostí toho bodu systému, kde se aktuálně nachází MT. Na druhé straně představuje rychlost MT vzhledem k počátku souřadnic , to znamená, že je definována jinak než relativní rychlost . Rovnosti a jsou splněny pouze v těch případech, kdy se soustava K' pohybuje progresivně, tedy když netočí ( ) a všechny její body se pohybují stejně [6] . ${\frac {d{\vec {R}}(t)}{dt}}$ $\vec v_0$ ${\frac {d{\vec {r'}}(t)}{dt}}$ ${\vec {v}}_{r}$ ${\frac {d{\vec {R}}(t)}{dt}}={\vec {v}}_{e}$ ${\frac {d{\vec {r'}}(t)}{dt}}={\vec {v}}_{r}$ ${\vec {\omega }}=0$

Příklady

V referenční soustavě spojené se Zemí lze rychlost cestujícího [7] jdoucího po vozové chodbě považovat za kombinaci dvou rychlostí. První z nich je rychlost, jakou se pohybuje bod vozu, ve kterém se cestující právě nachází - přenosová rychlost, tedy rychlost, kterou auto cestujícího „veze“. Druhým pojmem je rychlost cestujícího vzhledem k automobilu. Pokud se vůz pohybuje po zaoblení trati, změní se směr absolutní rychlosti cestujícího v důsledku změny přenosné rychlosti.
Absolutní rychlost mouchy [8] , plazící se po rotující gramofonové desce , se rovná geometrickému součtu rychlosti jejího pohybu vzhledem k desce a rychlosti, kterou má bod desky pod mouchou vzhledem k Zemi. - rychlost translace.
Pohyb bodu kola (kruhu) valícího se po vodorovné ploše bez prokluzu lze považovat za komplexní pohyb skládající se z pohybu kola jako celku rychlostí a rotace bodů kola kolem jeho osy s úhlovou rychlostí. . Potom, v souladu s teorémem sčítání rychlosti, lze průměty absolutní rychlosti bodu kola na vodorovnou a svislou osu zapsat jako $proti$ $\omega$

v_{x}=vv\cos \omega t

v_{y}=v\sin \omega t,

kde je poloměr kola. Po integraci a zohlednění těchto rovnic následuje:

R

v=\omega R

x=\omega Rt-R\sin \omega t

y=RR\cos \omega t.

Výsledné rovnice jsou parametrické rovnice cykloidy , respektive trajektorie bodu kola je cykloida.

Poznámky

↑ Targ S. M. Krátký kurz teoretické mechaniky. - M .: Vyšší škola, 1995. - S. 156-158. — 416 s. — ISBN 5-06-003117-9 .
↑ Buchholz N. N. Hlavní kurz teoretické mechaniky / Šesté vydání, revidováno a doplněno S. M. Targem. - M .: "Nauka" , 1965. - T. 1. - S. 88-90.
↑ Tedy body pevně dané vzhledem k soustavě K'.
↑ Kilčevskij N. A. Kurz teoretické mechaniky. - M .: "Nauka", 1977. - T. I. - S. 144.
↑ Sivukhin D.V. Obecný kurz fyziky. - M. : Fizmatlit , 2005. - T. I. Mechanika. - S. 362. - 560 s. — ISBN 5-9221-0225-7 .
↑ Golubev Yu.F. Základy teoretické mechaniky. - M. : MGU, 2000. - S. 119. - 720 s. — ISBN 5-211-04244-1 .
↑ V tomto případě je to absolutní rychlost.
↑ Rychlost vzhledem k Zemi.