Sturmova srovnávací věta

Sturmův srovnávací teorém je klasický teorém, který dává kritérium pro nekmitání řešení některých lineárních diferenciálních rovnic .

Pojmenován po Jacquesu Charlesi Françoisovi Sturmovi . [1] Rozšířenou verzi níže uvedeného teorému získal Mauro Picone . [2]

Formulace

Nechť p i , q i i = 1, 2 , jsou reálně hodnotné spojité funkce na intervalu [ a , b ] a nechť

$(p_{1}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{1}(x)y=0$
$(p_{2}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{2}(x)y=0$

jsou dvě homogenní lineární diferenciální rovnice druhého řádu v samoadjungované formě s

0<p_{2}(x)\leq p_{1}(x)

a

q_{2}(x)\geq q_{1}(x).

Nechť u je netriviální řešení (1) s postupnými kořeny v z 1 az 2 a nechť v je netriviální řešení (2). Pak platí jedna z následujících vlastností:

Existuje x v ( z 1 , z 2 ) tak, že v ( x ) = 0; nebo
Řešení u a v jsou úměrná; to znamená, že v R je λ takové, že v ( x ) = λ u ( x ) .

Viz také

Rauchova srovnávací věta je základním výsledkem Riemannovy geometrie získané aplikací Sturmovy srovnávací věty.

Poznámky

↑ C. Sturm, Mémoire sur les équations différentielles linéaires du second ordre, J. Math. Pures Appl. 1 (1836), 106–186
↑ M. Picone, Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un'equazione differentenziale lineare ordinaria del second'ordine, Ann. Scuola Norm. Pisa 11 (1909), 1–141.