Pappus-Guldinovy věty

Papp-Guldinovy teorémy jsou dvě teorémy o rotačních tělesech, které vztahují jejich plochu a objem k obvodu popsanému barycentrem . Formuloval Pappus z Alexandrie (neposkytl důkaz). První známý důkaz je způsoben Paulem Guldinem ( 1640 ) [1] .

První Pappus-Guldinova věta (o oblasti rotační plochy)

Plocha povrchu tělesa vytvořená rotací ploché čáry (uzavřené nebo otevřené) kolem osy, která leží v rovině této přímky a neprotíná ji, se rovná součinu délky rotační čáry a délka kružnice, jejíž poloměr je vzdálenost od osy k barycentru úsečky [2] [3] .

Druhá Pappus-Guldinova věta (o objemu rotačního tělesa)

Objem tělesa vytvořeného rotací ploché postavy kolem osy umístěné ve stejné rovině a neprotínající postavu se rovná ploše postavy vynásobené délkou kruhu, jehož poloměr je vzdálenost od osy rotace k barycentru obrázku [2] [4] .

Důkaz

Lemma

Nechť je v rovině na jedné straně přímky umístěno několik hmotných bodů stejné hmotnosti. Potom se těžiště tohoto systému bodů od přímky vzdálí o vzdálenost rovnající se aritmetickému průměru vzdáleností těchto bodů od přímky . $l$ $l$

Důkaz : Dokažme lemma matematickou indukcí. Označme počet bodů , samotné body , , …, , hmotnost každého bodu , a vzdálenosti bodů od přímky , , …, . $n$ $M_{1}$ $M_{2}$ $M_{n}$ $m$ $l$ $r_{1}$ $r_{2}$ $r_{n}$

Pro , tvrzení lemmatu je zřejmé. Nechť je lemma do jisté míry pravdivé. Pak je jejich těžiště v určité vzdálenosti $n=1$ $n-1$ $P$

r={\frac {r_{1}+r_{2}+...+r_{n-1}}{n-1}}

Nahraďme soustavu hmotných bodů , , … bodem , v němž soustředíme hmotnost rovnou . Zbývá najít těžiště dvou hmotných bodů a . Protože bod má hmotnost a bod má hmotnost , pak $M_{1}$ $M_{2}$ ${\displaystyle M_{n-1))$ $P$ $(n-1)m$ $Ó$ $P$ $M_{n}$ $P$ $(n-1)m$ $M_{n}$ $m$

PO:OM_{n}=1:(n-1)

Pokud je tedy vzdálenost od bodu k přímce (obr. 1), pak $r^{*}$ $Ó$

(rr^{*}):(r^{*}-r_{n})=1:(n-1)

kde

r^{*}={\frac {(n-1)r+r_{n}}{n}}={\frac {r_{1}+r_{2}+...+r_{ n-1}+r_{n}}{n}}

Tvrzení lemmatu tedy platí pro hmotné body. $n$

Důkaz první Papp-Guldinovy věty

Nejprve dokážeme, že tato věta platí, pokud křivka, na kterou se ve větě odkazuje, je spojovaná křivka , ve které mají všechny spojnice stejnou délku . Středy spojnic křivky označujeme jako , , …, , a vzdálenosti od těchto bodů k přímce jako , , …, . Když se uvažovaná křivka otočí kolem přímky , získá se plocha skládající se z částí, z nichž každá je boční plochou komolého kužele. Protože boční povrch komolého kužele je roven součinu délky tvořící čáry a délky obvodu průměrného řezu, plocha výsledného čísla otáčení se rovná $n$ $m$ $M_{1}$ $M_{2}$ $M_{n}$ $l$ $r_{1}$ $r_{2}$ $r_{n}$ $l$ $n$

{\displaystyle S=m\cdot 2\pi r_{1}+m\cdot 2\pi r_{2}+\ldots +m\cdot 2\pi r_{n))

Když si všimneme, že délka uvažované křivky je , můžeme přepsat výraz pro oblast $P=mn$

S=P\cdot 2\pi R

kde

R={\frac {r_{1}+r_{2}+...+r_{n}}{n}}

ale těžiště přerušované čáry, tedy těžiště bodů , , …, , v každém z nich je soustředěna hmota , je podle lemmatu odděleno od přímky ve vzdálenosti . To znamená, že v daném případě platí první Papp-Guldinova věta. $M_{1}$ $M_{2}$ $M_{n}$ $m$ $l$ $R$

Nyní uvažujme libovolnou čáru , jejíž rotace při otáčení kolem osy vytváří plochu . Píšeme do něj přerušovaný řádek obsahující odkazy. Při rotaci kolem osy získáme plochu , jejíž plocha je rovna , kde je délka křivky a je vzdálenost od těžiště křivky k ose rotace . $K$ $l$ $Q$ $L$ $m$ $L$ $l$ $T$ $S=P\cdot 2\pi R$ $P$ $L$ $R$ $L$ $l$

Pokud budeme počítat , pak bude délka křivky inklinovat k délce čáry , plocha povrchu bude inklinovat k ploše , těžiště křivky bude inklinovat k těžišti křivky . Protože pro libovolnou platí vztah pro , pak přecházející do limity , zjistíme , že platí i pro křivku . $m\to 0$ $L$ $K$ $T$ $Q$ $L$ $K$ $m$ $S=P\cdot 2\pi R$ $L$ $m\to 0$ $K$

Poznámky

↑ Glaser, 1983 , str. 176.
↑ 1 2 Glaser, 1983 , str. 177.
↑ Fikhtengolts, díl II, 1969 , s. 229.
↑ Fikhtengolts, díl II, 1969 , s. 232.

Literatura

Glazer G.I. Historie matematiky ve škole. třídy IX-X. - M . : Vzdělávání, 1983. - 351 s.
Fikhtengol'ts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu. T. II. 7. vyd. - M. : Nauka, 1969. - 800 s.

Pappus-Guldinovy ​​věty