Torická sekce

Torický řez je řez torusem libovolnou rovinou . Konkrétní případy torusových řezů, Perseovy křivky , byly studovány ve starověku. Obecný případ studoval Jean Darboux v 19. století. [jeden]

Obecný vzorec

Torický řez je rovinná křivka čtvrtého řádu [1] formuláře

\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+ax^{2}+by^{2}+cx+dy+e=0.

Pět parametrů rovnice je definováno pomocí dvou parametrů torusu — poloměrů malé a velké kružnice r, R , [2] a pomocí tří parametrů definujících rovinu řezu. [3] Pokud rovina neprotíná torus, pak rovnice nemá reálná řešení.

Příklad

Průřez torusu s parametry bitangentní roviny je dán vzorcem $R,r,(r<R)$

$(x^{2}+y^{2})^{2}-2(R^{2}+r^{2})x^{2}-2(R^{2}-r ^{2})y^{2}+(R^{2}-r^{2})^{2}=0.$

Vzorec lze rozložit na součin vzorců pro dva kruhy.

Kolmé řezy

Řezy torusu rovinou rovnoběžnou s jeho osou (kolmou k rovině rotace kružnice) se nazývají spirální řezy nebo Perseovy křivky. Zkoumal je starověký řecký geometr Perseus kolem roku 150 před naším letopočtem. E. [4] Řez torusu rovinou kolmou k jeho ose je prstenec .

Obvody Villarceau

Nejzajímavějším šikmým řezem torusu je řez bicangentní rovinou - Villarceauův kruh . Tento úsek představuje nezřejmým způsobem dva protínající se kruhy. Body jejich průsečíku se shodují s body kontaktu mezi rovinou sečny a anuloidem. [5]

Poznámky

↑ 1 2 Sym, Antoni (2009), Darbouxova největší láska , Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical vol. 42 (40): 404001 , DOI 10.1088/1751-8113/42/40/404001 .
↑ Torus lze umístit jakýmkoliv vhodným způsobem do středu souřadnic.
↑ Jeden parametr (rotace řezu v rovině) lze odstranit díky středové symetrii torusu.
↑ Brieskorn, Egbert & Knörrer, Horst (1986), Původ a generace křivek , Rovinné algebraické křivky , Basilej: Birkhäuser Verlag, s. 2–65, ISBN 3-7643-1769-8 , DOI 10.1007/978-3-0348-5097-1 .
↑ Schoenberg, IJ (1985), A direct approach to the Villarceau circles of a torus, Simon Stevin T. 59 (4): 365–372 .