Miquel bod

Miquelův bod je jedním z pozoruhodných bodů čtyřúhelníku .

Definice

Nechť jsou čtyři přímky uspořádány tak ( v obecné poloze ), že když se protnou, vytvoří se čtyři trojúhelníky. Potom mají kružnice opsané kolem těchto trojúhelníků společný bod, který se nazývá Miquelův bod této konfigurace čar.

Poznámka

Tvrzení, že se tyto čtyři kružnice protínají v jednom bodě, se nazývá Michel-Steinerova čtyřúhelníková věta [1] .

Vlastnosti

Středy opsaných kružnic výše uvedených čtyř trojúhelníků (modré tečky na obrázku) leží na stejné (červené) kružnici procházející bodem Miquel (zelená na obrázku výše).
Čtyřúhelník tvořený čtyřmi danými úsečkami , , a , je vepsán právě tehdy, když Miquelův bod leží na přímce spojující dva ze šesti průsečíků přímek (těch, které nejsou vrcholy čtyřúhelníku), to znamená, když leží na . $abeceda$ $BÝT$ $BF$ $CE$ $AF$ $M$ $EF$

Historie

Tento výsledek oznámil Jakob Steiner [2] . Kompletní důkaz podal Miquel [1] .

Variace a zobecnění

Miquelův teorém pro pětiúhelník (pro pěticípou hvězdu)

Nechť je dán konvexní pětiúhelník . Pokračujme všemi jeho pěti stranami, dokud se neprotnou v pěti bodech , , , , (vytvoří pěticípou hvězdu). Popíšeme pět kruhů kolem pěti trojúhelníků , , , a . Pak jejich další body vzájemného průsečíku (kromě , , , , ), a to nové body: , , , a leží na stejné kružnici (patří do stejné kružnice) [3] (viz obr.). Opak je známý jako věta o pěti kruzích . $ABCDE$ $F$ $G$ $H$ $já$ $K$ $CFDs$ $DGE$ $EHA$ $AIB$ $BKC$ $A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $M$ $N$ $P$ $R$ $Q$

Miquelův teorém o šesti kružnicích

Nechť čtyři body , , a , jsou uvedeny na kruhu , a čtyři kruhy protínají ve dvojicích v těchto bodech, stejně jako ve čtyřech dalších bodech , , a . Pak poslední čtyři body také leží na společné kružnici. Tato věta je známá jako „věta o šesti kruzích“ [4] (viz obrázek). $A$ $B$ $C$ $D$ $W$ $X$ $Y$ $Z$

Tato věta se někdy nazývá věta o čtyřech kruzích a je připisována Jakobu Steinerovi, ačkoli jediný známý publikovaný důkaz podal Miquel [5] .

Wells tento teorém označuje jako „Miquelův teorém“ [6] .

Trojrozměrná analogie Miquelovy věty

Existuje také trojrozměrná analogie, ve které se čtyři koule procházející body čtyřstěnu a body na okrajích čtyřstěnu protínají v jednom společném bodě . Wells, když odkazuje na Miquela, odkazuje na tuto větu jako na Pivotovu větu . [7] $M$

Viz také

Point Poncelet
Miquelův teorém – další výsledek Miquelova
Přímý Ober

Poznámky

↑ 1 2 Ostermann & Wanner (2012) , s. 96.
↑ Steiner, J. (1827/1828), Otázky proposées. Kompletní Théorème sur le quadrilatère, Annales de math. T. 18: 302–304
↑ Středoškolský učitel na francouzském venkově (Nantua) podle Ostermann & Wanner 2012 . - Ostermann & Wanner, 2012. - S. 94-97.
↑ Středoškolský učitel na francouzském venkově (Nantua) podle Ostermann & Wanner 2012 . — Ostermann & Wanner, 2012. — S. 94.
↑ Středoškolský učitel na francouzském venkově (Nantua) podle Ostermann & Wanner 2012 . — Ostermann & Wanner, 2012. — S. 352.
↑ Wellsi, Davide. Tučňákův slovník kuriózní a zajímavé geometrie . - New York: Penguin Books, 1991. - S. 151-152 .
↑ Wellsi, Davide. Tučňákův slovník kuriózní a zajímavé geometrie . - New York: Penguin Books, 1991. - S. 184 .

Literatura

Coxeter G. S. M. , Greitzer S. L. Nová setkání s geometrií . — M .: Nauka, 1978. — 224 s. - (Číslo 14 ze série " Knihovna matematického kroužku "). - 148 000 výtisků.

Forder, H. G. (1960), Geometrie , Londýn: Hutchinson

Ostermann, Alexander & Wanner, Gerhard (2012), Geometrie svou historií , Springer, ISBN 978-3-642-29162-3

Pedoe, Dan (1988), Geometrie/Komplexní kurz , Dover, ISBN 0-486-65812-0

Smart, James R. (1997), Moderní geometrie (5. vydání), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3

Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Zajímavé geometrie , New York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6