Zaokrouhlovací bod

Bod zaoblení ( kruhový bod , pupeční bod nebo pupeční bod ) je bod na hladkém pravidelném povrchu v euklidovském prostoru , ve kterém jsou normální zakřivení ve všech směrech stejná.

Název " umbilicus " pochází z francouzského "ombilicus", který zase pochází z latinského "umbilicus" - "pupek".

Vlastnosti

V bodě zaokrouhlení:

hlavní zakřivení povrchu jsou stejná.
První kvadratická forma a druhá kvadratická forma plochy jsou úměrné.
jakýkoli směr tečny je hlavním směrem .
Dotykový paraboloid je paraboloid rotace .
Dupinova indicatrix je kruh .
Síť křivek křivosti (tj. linií tečných v každém bodě k jednomu z hlavních směrů povrchu) má rys [1] .
Jakýkoli bod zaoblení je buď eliptický bod na povrchu (pokud jsou hlavní zakřivení nenulová, a tedy Gaussovo zakřivení povrchu v tomto bodě je kladné), nebo takzvaný plochý bod zaoblení (pokud jsou hlavní zakřivení nula, a tudíž Gaussova křivost a průměrné zakřivení povrchu jsou v tomto bodě rovny nule). V prvním případě v malém okolí bodu zaoblení vypadá povrch jako koule a ve druhém jako rovina.

Příklady

V euklidovském prostoru s metrikou : $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$

Celá koule se skládá z eliptických bodů zaoblení.
Trojosý elipsoid (s párově odlišnými osami) má přesně čtyři zaokrouhlovací body, z nichž všechny jsou eliptické a jsou „citrónového“ typu.
Celá rovina se skládá z plochých zaoblených bodů.
Opičí sedlo má na počátku izolovaný plochý zaoblený bod.

Hypotéza Carathéodory

Carathéodory předpokládal, že na jakémkoli dostatečně hladkém uzavřeném konvexním povrchu M v trojrozměrném euklidovském prostoru existují alespoň dva body zaoblení . Tato domněnka byla následně prokázána za dodatečného předpokladu, že plocha M je analytická [2] [3] .

Generalizace

Nechť je hladká varieta libovolné dimenze v euklidovském prostoru vyšší dimenze. Poté jsou v každém bodě definovány vlastní hodnoty páru první a druhé kvadratické formy uvedené na tečném svazku . Bod se nazývá pupeční , pokud množina obsahuje alespoň dvě odpovídající čísla. Množina pupečníků má kodimenzi 2, to znamená, že je dána dvěma nezávislými rovnicemi. [4] Pupeční body na generické ploše jsou tedy izolovány ( ), zatímco na generické 3-varitě tvoří křivku ( ). $M$ $n\geq 2$ $x\v M$ $n$ $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ $TM$ $x\v M$ $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ $M$ $\dim=2-2=0$ $\dim=3-2=1$

Literatura

Toponogov VA Diferenciální geometrie křivek a ploch. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135 .
Rashevsky P. K. Kurz diferenciální geometrie, - Libovolné vydání.
Finikov S.P. Kurz diferenciální geometrie, - Libovolné vydání.
Finikov S.P. Theory of Surfaces, - Libovolné vydání.
Porteous IR Geometric Differentiation pro inteligenci křivek a povrchů - Cambridge University Press, Cambridge, 1994.
Struik DJ Přednášky o klasické diferenciální geometrii, — Addison Wesley Publ. Co., 1950. Přetištěno společností Dover Publ., Inc., 1988.

Poznámky

↑ 1 2 Remizov A. O. Multidimenzionální konstrukce Poincare a singularity zvednutých polí pro implicitní diferenciální rovnice, CMFD, 19 (2006), 131-170.
↑ Zbl 1056.53003
↑ Ivanov V. V. Analytical hypothesis of Carathéodory, Sib. matematika. j., 43:2 (2002), 314-405.
↑ Arnold V. I. Matematické metody klasické mechaniky, - Libovolné vydání. (Příloha 10. Násobnosti vlastní frekvence a elipsoidy závislé na parametrech).