Přesná Eulerova sekvence

Přesná Eulerova sekvence je jistá přesná sekvence snopů na n - rozměrném projektivním prostoru nad prstencem . Ukazuje, že kotangentní svazek projektivního prostoru je stabilně izomorfní k ( n + 1)-násobnému součtu tautologických svazků (viz Serre kroucený svazek ). ${\mathcal {O}} (-1)$

Formulace

Pro komutativní prstenec A existuje přesná posloupnost kladek

0\to \Omega _{\mathbb {P} _{A}^{n}/A}^{1}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{A} ^{n}}(-1)^{\oplus n+1}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{A}^{n}}\to 0.

Abychom to dokázali, postačí definovat homomorfismus , kde a na mocninu 1, surjektivní v mocninách a zkontrolovat, že lokálně na ( n + 1)-tém standardním afinním grafu je jeho jádro izomorfní vůči modulu relativních diferenciálů . [jeden] ${\displaystyle S(-1)^{\oplus n+1}\to S,e_{i}\mapsto x_{i))$ $S=A[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ $e_i = 1$ $\geq 1$

Geometrická interpretace

Předpokládáme, že prstenec A je pole k .

Přesná sekvence výše je ekvivalentní sekvenci

0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(1)^{\oplus (n+1)}\to { \mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to 0

kde poslední nenulový člen je tečnou tužkou.

Uvažujme V - ( n + 1)-rozměrný vektorový prostor nad k a vysvětlete přesnou posloupnost

0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (V)}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (V)}(1)\otimes V \to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} (V)}\to 0

Tato sekvence je nejsnáze pochopena interpretací středního termínu jako svazku 1-homogenních vektorových polí na vektorovém prostoru V . V tomto svazku je pozoruhodný úsek - Eulerovo vektorové pole - tautologicky definované porovnáním bodu ve vektorovém prostoru s vektorem odpovídajícím tomuto bodu, přeneseným do tečného prostoru v tomto bodě.

Toto vektorové pole je radiální v tom smyslu, že mizí na 0-homogenních funkcích, tj. funkcích, které jsou invariantní pod homotetií se středem na nule.

Funkce (definovaná na nějaké otevřené množině) na indukuje 0-homogenní funkci na V (opět částečně definovaná). Vynásobením Eulerova vektorového pole takovými funkcemi získáme 1-homogenní vektorová pole. Tím se definuje první zobrazení. $\mathbb {P} (V)$

Druhé zobrazení je spojeno s konceptem derivací, který je ekvivalentní konceptu vektorových polí. Připomeňme, že vektorové pole na otevřené podmnožině U projektivního prostoru lze definovat jako derivaci funkcí definovaných na této otevřené množině. Vezmeme-li v úvahu předobraz ve V , je to ekvivalentní odvození z předobrazu U se zachováním 0-homogenních funkcí. Tímto způsobem lze získat libovolné vektorové pole a jádro výsledného mapování se skládá přesně z radiálních vektorových polí. $\mathbb {P} (V)$ $\mathbb {P} (V)$

Kanonický čárový svazek projektivního prostoru

Přejdeme-li k vyšším vnějším mocnostem , zjistíme, že kanonický svazek projektivního prostoru má tvar

\omega _{\mathbb {P} _{A}^{n}/A}\cong {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{A}^{n}}(- (n+1))

Konkrétně projektivní prostory jsou odrůdy Fano , protože svazek kanonických čar je anti - velký .

Poznámky

↑ Hartshorne, 1981 , Věta II.8.13.

Literatura

Hartshorne R. Algebraická geometrie / přel. z angličtiny. V. A. Iskovskikh. — M .: Mir, 1981.