Tunelování přes pravoúhlou bariéru

Tunelování přes pravoúhlou bariéru je efekt kvantově mechanického tunelování v situaci, kdy potenciální bariéra pro částici má pravoúhlý tvar, konkrétně konst v oblasti tunelování . $U(x)$ $U(x)=V=\,$ $0<x<a$

Obvykle se předpokládá, že na obou stranách bariéry je celková energie částice spojena pouze s pohybem ve směru (žádný pohyb v kolmé rovině ) a že hmotnost částice se nemění. $U=0$ $E$ $X$ $yz$ $m$

Typické hodnoty parametrů jsou: - řádově elektronvolt - několik nanometrů a tunelující částice jsou elementární částice (elektrony atd.). $PROTI$ $A$

Při analýze tunelování je problém vypočítat pravděpodobnost průchodu bariérou při jediné srážce částice s ní. Obdélníková bariéra vzniká jako nejjednodušší aproximace pro reálné bariéry, což umožňuje získat jednoduché analytické řešení. $T(E)$

Řešení

Částice popsaná rovinnou vlnou dopadá na hranici bariéry vpravo a částečně se odráží s amplitudou Část vlny projde bariérou s amplitudou pravděpodobnosti Vyjádření pro vlnovou funkci částice ve třech oblastech v jednorozměrném případ: $r.$ $t.$

\psi _{1}(x)=e^{ik_{1}x}+re^{-ik_{1}x}\,(x<0);

\psi _{2}(x)=Ae^{k_{2}x}+Be^{-k_{2}x}\,(0<x<a);

\psi _{3}(x)=te^{ik_{1}x}\,(a<x).

Zde se předpokládá, že vlnové vektory jsou:

k_{1}={\sqrt {\frac {2mE}{\hbar ^{2))))),

k_{2}={\sqrt {\frac {2m(VE)}{\hbar ^{2)))).

Protože samotné vlnové funkce na hranicích bariéry a jejich první derivace nesmějí mít nespojitosti, použije se tato podmínka k přizpůsobení vlnových funkcí a jejich derivací na hranicích a získají se čtyři rovnice se čtyřmi neznámými:

1+r=A+B

ik_{1}-irk_{1}=k_{2}A-k_{2}B

{\displaystyle Ae^{k_{2}a}+Be^{-k_{2}a}=te^{ik_{1}a))

k_{2}Ae^{k_{2}a}-k_{2}Be^{-k_{2}a}=ik_{1}te^{ik_{1}a}.

Jejich řešení:

A\left(1-i{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)+B\left(1+i{\frac {k_{2}}{k_{1 }}}\right)=2

A={\frac {t}{2}}e^{-k_{2}a}e^{ik_{1}a}\left(1+i{\frac {k_{1}}{ k_{2}}}\right)

B={\frac {t}{2}}e^{k_{2}a}e^{ik_{1}a}\left(1-i{\frac {k_{1}}{k_ {2}}}\right)

te^{-k_{2}a}\left(1+i{\frac {k_{1}}{k_{2}}}\right)\left(1-i{\frac {k_{ 2}}{k_{1}}}\right)+te^{k_{2}a}\left(1-i{\frac {k_{1}}{k_{2}}}\right)\left (1+i{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)=4e^{-ik_{1}a}

t={\frac {4e^{-ik_{1}a}}{e^{-k_{2}a}\left(2+i\left({\frac {k_{1}}{ k_{2}}}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)\right)+e^{k_{2}a}\left(2-i\left({\ frac {k_{1}}{k_{2}}}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)\right)))

t={\frac {4e^{-ik_{1}a}}{4\cosh {k_{2}a}-2i\left({\frac {k_{1}}{k_{2} }}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)\sinh {k_{2}a}}},

odkud následuje výraz pro koeficient přenosu:

T=|t|^{2}=t\cdot t^{\ast }={\frac {1}{\cosh ^{2}{k_{2}a}+{\frac {1} {4}}\left({\frac {k_{1}}{k_{2}}}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)^{2}\sinh ^ {2}{k_{2}a}}}={\frac {1}{1+{\frac {(k_{1}^{2}+k_{2}^{2})^{2}} {4k_{1}^{2}k_{2}^{2}}}\sinh ^{2}{k_{2}a}}}.

Poznámka. V této souvislosti můžeme uvažovat o situaci potenciálu podobného deltě popsaného Diracovou delta funkcí , Toto je limitující případ pravoúhlé bariéry směřující k nekonečně vysokému a zároveň nekonečně úzkému potenciálu (a tak, že součin kde je určitá konstanta). Pak se to ukáže $U(x)=g\delta(x).$ $Va=g,$ $G$ $T=(1+g^{2}{\frac {m}{2\hbar ^{2}E)))^{-1}.$

Pokud je energie částice nad bariérou, pak:

k_{2}={\sqrt {\frac {2m(EV)}{\hbar ^{2))))),

a získejte další výsledek:

T={\frac {1}{1+{\frac {(k_{1}^{2}-k_{2}^{2})^{2}}{4k_{1}^{2 }k_{2}^{2}}}\sin ^{2}{k_{2}a}}}.

Při , je kvantový přenosový koeficient obecně odlišný od jednoty, na rozdíl od klasického případu. V této energetické oblasti probíhají nemonotonie $E>V$ $T(E).$

Literatura

Griffiths, David J. Úvod do kvantové mechaniky (2. vydání) (anglicky) . — Prentice Hall , 2004.