Ultrametrický prostor

Ultrametrický prostor je speciální případ metrického prostoru , ve kterém metrika splňuje silnou trojúhelníkovou nerovnost :

{\displaystyle d(x,z)\leqslant \max\{d(x,y),d(y,z)\))

Taková metrika se nazývá ultrametrická . Jednoduše řečeno, v ultrametrickém prostoru není možné získat větší vzdálenost přidáním menších, to znamená, že není respektován „Archimedův princip“ .

Definice

Ultrametrický prostor je pár , kde je množina a je na ní funkce s reálnou hodnotou, nazývaná také metrika , která splňuje následující podmínky: $(M,d)$ $M$ $d\colon M\times M\to \mathbb {R}$

$d(x,y)\geqslant 0,d(x,y)=0\iff x=y$ ( pozitivní definitivnost )
$d(x,y)=d(y,x)$ ( symetrie )
${\displaystyle d(x,z)\leqslant \max\{d(x,y),d(y,z)\))$ ( silná trojúhelníková nerovnost )

Ultrametrický prostor se liší od metrického tím, že trojúhelníková nerovnost je nahrazena zesílenou trojúhelníkovou nerovností.

Vlastnosti

Každý trojúhelník je rovnoramenný, a pokud nejsou všechny jeho strany stejné, pak je jedna kratší než ostatní dvě.
Každý bod na míči je jeho středem.
Pokud mají dvě koule společný bod, pak se buď shodují, nebo jedna zcela obsahuje druhou.
Topologie ultrametrického prostoru je zcela nespojitá .

Příklady

Diskrétní metrika (tj. vzdálenost mezi dvěma body je 0, pokud se shodují, a 1, pokud se neshodují) je ultrametrická.
Metrika na je taková, že pro , a . $1,2,\tečky ,n,\tečky$ ${\displaystyle d(n,m)=d_{n))$ $n<m$ $d_{1}\geqslant d_{2}\geqslant ...d_{n}\geqslant ...\geqslant 0$
Množina slov libovolné délky v nějaké abecedě s ultrametrickou danou jako , kde je číslo prvního symbolu, který se liší ve slovech a . $\Sigma$ ${\displaystyle d(a,b)=2^{-n))$ $n$ $A$ $b$
p-adická čísla tvoří ultrametrický prostor s přirozeným ultrametrickým.
Modely obdařené přirozenou ultrametrikou vznikají v teorii informace při studiu sekvencí znaků a ve fyzice pevných látek při studiu spinových skel .

Literatura

B. Becker, S. Vostokov, Yu Ionin. 2-adická čísla // Kvant . - 1979. - T. 2 . - S. 26-31 .