Vlasovova rovnice

Vlasovova rovnice je soustava rovnic popisujících dynamiku plazmatu nabitých částic , přičemž bere v úvahu Coulombovy síly s velkým dosahem pomocí samokonzistentního pole . Poprvé byl navržen A. A. Vlasovem v článku [1] a později prezentován v monografii [2] .

Problémy plynokinetického přístupu

Vlasov ve své práci nejprve poukazuje na nepoužitelnost plynokinetického přístupu založeného na Boltzmannově rovnici (předpokládá se, že srážkový integrál závisí pouze na párových srážkách) pro popis dynamiky plazmatu s Coulombovou interakcí . Když se pokouší aplikovat teorii založenou na párových srážkách na popis plazmatu, poznamenává následující problémy:

aproximace párové srážky je v rozporu se studiemi Rayleigha a Langmuira a Tonksové , kteří předpovídali a zkoumali Langmuirovy vlny v plazmatu elektronového plynu. [3] [4]
aproximace párové srážky není formálně použitelná na Coulombovu interakci kvůli divergenci celkového průřezu rozptylu.
aproximace párové srážky nevysvětluje Merrillovy a Webbovy experimenty na anomálním rozptylu elektronů v plynném plazmatu. [5]

Jako příčinu těchto problémů Vlasov poukazuje na dalekonosnou povahu Coulombových sil, která vede k interakci každé z částic s kombinací jiných částic. Působení na velkou vzdálenost v tomto případě znamená, že poloměr působení této síly je větší než průměrná vzdálenost mezi částicemi.

Vlasov-Maxwellovy rovnice

Vlasov zpočátku uvažoval o systému obecných plazmových rovnic, zahrnujících tři složky (elektrony, ionty a neutrální atomy), a napsal Boltzmannovu rovnici pro s -tou složku plazmatu ve tvaru

{\frac {\partial f_{s}}{\partial t}}+\mathrm {div} _{\mathbf {r} }{\vec {v}}f_{s}+{\frac { e_{s}}{m_{s}}}\left({\vec {E}}+{\frac {1}{c}}[{\vec {v}},{\vec {B}}] \right)\mathrm {grad} _{\mathbf {v} }f_{s}=\left[{\frac {\partial f_{s}}{\partial t}}\right]_{s1}^{ st}+\left[{\frac {\partial f_{s}}{\partial t}}\right]_{s2}^{st}+\left[{\frac {\partial f_{s}}{ \partial t}}\right]_{s3}^{st}.

kde je distribuční funkce . Tento systém rovnic také zahrnoval Maxwellovy rovnice a rovnice pro náboj a proud vyjádřené v podmínkách distribučních funkcí . Protože se Vlasov zajímal pouze o vlnová řešení, zanedbal příspěvky srážkových integrálů, protože podle odhadů se ukázalo, že frekvence plazmových vln jsou mnohem vyšší než frekvence párových srážek částic v plazmatu. To znamená, že namísto popisu interakce nabitých částic v plazmatu pomocí srážek navrhl použít k popisu potenciálu dlouhého dosahu samokonzistentní pole vytvořené nabitými částicemi plazmatu. Místo Boltzmannovy rovnice Vlasov navrhuje použít následující systém rovnic k popisu nabitých složek plazmatu ( elektrony s distribuční funkcí a kladné ionty s distribuční funkcí ): $f_{s}({\vec {r)),{\vec {p)),t)$ $f_s$ $f_{e}({\vec {r)),{\vec {p)),t)$ $f_{i}({\vec {r)),{\vec {p)),t)$

{\frac {\partial f_{e}}{\partial t}}+{\vec {v}}{\frac {\partial f_{e}}{\partial {\vec {x}}} }-e{\Bigl (}{\vec {E}}+{\frac {1}{c}}[{\vec {v}},{\vec {B}}]{\Bigr )}{\ frac {\partial f_{e}}{\partial {\vec {p}}}}=0

{\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+{\vec {v}}{\frac {\partial f_{i}}{\partial {\vec {x}}} }+e{\Bigl (}{\vec {E}}+{\frac {1}{c}}[{\vec {v}},{\vec {B}}]{\Bigr )}{\ frac {\partial f_{i}}{\partial {\vec {p}}}}=0

{\rm {rot}}{\vec {B}}={\frac {4\pi {\vec {j}}}{c}}+{\frac {1}{c}}{\ frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t)),\quad {\rm {rot}}{\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\částečný {\vec {B}}}{\částečný t}}

{\rm {div}}{\vec {E}}=4\pi \rho ,\quad {\rm {div}}{\vec {B}}=0

\rho =e\int (f_{i}-f_{e})d^{3}{\vec {p)),\quad {\vec {j))=e\int (f_{i }-f_{e}){\vec {v}}d^{3}{\vec {p}}

Zde je náboj elektronu , rychlost světla a jsou to samokonzistentní elektrická a magnetická pole vytvořená v určitém okamžiku všemi nabitými částicemi plazmatu. Podstatný rozdíl tohoto systému rovnic od pohybových rovnic nabitých částic ve vnějším elektromagnetickém poli spočívá v tom, že samokonzistentní elektromagnetické pole samo o sobě komplexně závisí na distribučních funkcích iontů a elektronů. $E$ $C$ ${\vec {E}}({\vec {r}},t)$ ${\vec {B}}({\vec {r}},t)$ ${\vec {r))$ $t$

Vlasov-Poissonovy rovnice

Vlasov-Maxwellovy rovnice jsou soustavou nelineárních integro-diferenciálních rovnic . Pokud jsou fluktuace distribučních funkcí vzhledem k rovnovážnému stavu malé, lze tento systém rovnic linearizovat . Linearizace poskytne systém Vlasov-Poissonových rovnic popisujících dynamiku plazmatu v samokonzistentním elektrostatickém poli. Vlasov-Poissonovy rovnice jsou soustavou Vlasovových rovnic pro každou složku plazmatu (uvažujeme nerelativistickou mez):

{\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial {\vec { x))))+{\frac {q_{\alpha }{\vec {E}}}{m_{\alpha }}}\cdot {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial {\ vec{v}}}}=0,

a Poissonovy rovnice pro samokonzistentní elektrické pole:

\nabla \cdot {\vec {E}}=-\Delta \phi =4\pi \rho .

Zde je elektrický náboj a je hmotnost částic plazmy, je samokonzistentní elektrické pole, je potenciál samokonzistentního elektrického pole a je hustota elektrického náboje . ${\displaystyle q_{\alpha ))$ $m_{\alpha }$ ${\vec {E}}({\vec {x}},t)$ $\phi ({\vec {x)),t)$ $\rho$

Poznámky

↑ A. A. Vlasov. O vibračních vlastnostech elektronového plynu // Journal of Experimental and Theoretical Physics . - 1938. - T. 8 (3) . - S. 291 . Archivováno z originálu 22. července 2018.
↑ A. A. Vlasov. Teorie vibračních vlastností elektronového plynu a její aplikace // Uch. aplikace. Moskevská státní univerzita. - 1945. - Vydání. 75. Kniha. 2. Část 1 .
↑ Rayleigh, Phil. Mag. 11, 117 (1906).
↑ I. Langmuir a L. Tοnks, Phys. Rev. 33, 195 (1929).
↑ HJ Merrill a HW Webb. Electron Scattering and Plasma Oscillations (anglicky) // Physical Review : journal. - 1939. - Sv. 55 , č. 12 . — S. 1191 . - doi : 10.1103/PhysRev.55.1191 . - .

Literatura

Kotelnikov IA Přednášky o fyzice plazmatu. 1. díl: Základy fyziky plazmatu. - 3. vyd. - Petrohrad. : Lan , 2021. - 400 s. - ISBN 978-5-8114-6958-1 .
I. P. Bazarov, P. N. Nikolaev. Anatolij Alexandrovič Vlasov . — Fakulta fyziky Moskevské státní univerzity. - M. , 1999. - S. 19-26. - (Vynikající vědci z Fyzikální fakulty Moskevské státní univerzity). — Podrobná diskuse o Vlasovových rovnicích.
F. Pegoraro, F. Califano, G. Manfredi, PJ Morrison. Teorie a aplikace Vlasovovy rovnice (anglicky) // Eur. Phys. J.D. _ - 2015. - Sv. 69 . — S. 68 . - doi : 10.1140/epjd/e2015-60082-y . - arXiv : 1502.03768 .