Pauliho rovnice

Pauliho rovnice je rovnice nerelativistické kvantové mechaniky , která popisuje pohyb nabité částice se spinem 1/2 (například elektronu ) ve vnějším elektromagnetickém poli . Navrhl Pauli v roce 1927 . Nezaměňovat se základní kinetickou rovnicí , někdy také nazývanou Pauliho rovnice.

Pauliho rovnice je zobecněním Schrödingerovy rovnice , která bere v úvahu přítomnost vlastního mechanického momentu hybnosti - spinu částice. Částice se spinem 1/2 může být ve dvou různých spinových stavech se spinovými projekcemi +1/2 a −1/2 do nějakého (libovolně zvoleného) směru, obvykle braného jako osa z . V souladu s tím je vlnová funkce částice ( kde r souřadnice částice, t čas ) dvousložková: $\psi (r,t)$

\psi (r,t)={\begin{pmatrix}\psi _{1}(r,t)\\\psi _{2}(r,t)\end{pmatrix}}.

Když jsou souřadnicové osy otočeny a jsou transformovány jako spinor komponenty . V prostoru spinorových vln funguje skalární součin a má tvar $\psi_{1}$ $\psi_{2}$ $\psi$ $\psi'$

(\psi ',\psi )=\int (\psi '_{1}\psi _{1}+\psi '_{2}\psi _{2})dr,

Operátory fyzikálních veličin jsou matice 2x2, které jsou pro veličiny (pozorovatelné) nezávislé na spinu násobky matice identity.

Na základě obecných zákonů elektrodynamiky má elektricky nabitý systém s nenulovým spinovým momentem také magnetický moment úměrný : (g je gyromagnetický poměr ). Pro orbitální moment , kde e je náboj, m je hmotnost částice; rotační gyromagnetický poměr se ukáže být dvakrát větší: . Ve vnějším magnetickém poli síly má magnetický moment potenciální energii , jejíž přidání k Hamiltoniánu H elektronu ve vnějším elektronově magnetickém poli s potenciály a A vede k Pauliho rovnici: ${\vec {s}}$ ${\vec {s}}$ ${\vec {\mu }}=g{\vec {s}}$ $g={e\over 2mc}$ $g={e\over mc}$ ${\vec {B}}$ $U=-{\vec {\mu }}\ {\vec {B}}$ $\phi$

i\hbar {\partial \psi \over \partial t}={{\hat {\mathcal {H))}\psi \ }=\left[{1 \over 2m}({\hat {p }}-{e \over c}A{\hat {I}})^{2}+e\varphi {\hat {I}}-{{e\hbar } \over 2mc}({\hat {\ sigma )){\vec {B)))\right]\psi

kde je operátor hybnosti, je operátor jednotky a je úměrný operátoru rotace: . ${\hat p}$ ${\co já}$ ${\hat \sigma }$ ${\hat s}={\hbar \over 2}{\hat \sigma }$

Pauliho rovnice, původně navržená na základě heuristických úvah, se ukázala jako přirozený důsledek relativisticky invariantní Diracovy rovnice ve slabě relativistické aproximaci, ve které se berou pouze první členy expanze reciprokých mocnin rychlosti světla. v úvahu. Pokud síla vnějšího magnetického pole nezávisí na prostorových souřadnicích, pak dochází k orbitálnímu pohybu částice a změně orientace jejího spinu nezávisle. V tomto případě má vlnová funkce tvar , kde je skalární funkce, která se řídí Schrödingerovou rovnicí, a spinor rovnici splňuje $\psi (r,t)=\Phi (r,t)\chi (t)$ $\Phi (r,t)$ $\chi ={\begin{pmatrix}\chi _{1}\\\chi _{2}\end{pmatrix}}$

i\hbar {\partial \chi \over \partial t}=-{{e\hbar } \over 2mc}(\sigma {\vec {B)))\chi .

Z této rovnice vyplývá, že průměrná hodnota spinu se pohybuje kolem směru magnetického pole: $\langle s\rangle =~{\hbar \over 2} (\chi +\sigma \chi )$

{\frac {d}{dt}}\langle s\rangle =-\omega _{B}[{\vec {n}}\langle s\rangle ].

Zde je frekvence cyklotronu a je jednotkovým vektorem podél magnetického pole. Na základě Pauliho rovnice lze vypočítat rozdělení hladin elektronů v atomu ve vnějším magnetickém poli s přihlédnutím k spinu ( Zeemanův efekt ). Jemnější relativistické efekty v atomech v důsledku elektronového spinu však lze popsat pouze tím, že vezmeme v úvahu vyšší členy expanze relativistické Diracovy rovnice v reciprokých mocninách rychlosti světla. $\omega _{B}={eB \over mc}$ ${\vec {n}}$

Literatura

Blokhintsev D. I. Základy kvantové mechaniky. - 5. vyd. - M.: Nauka, 1976. - 664 s., odstavec 62.
Davydov A. S. Kvantová mechanika. - 2. vyd. - M.: Nauka, 1973. - 704 s., odstavec 63.
Pauli V. Obecné principy vlnové mechaniky. - M.-L.: OGIZ, 1947. - 332 s.
Berestetsky V. B. , Lifshits E. M. , Pitaevsky L. P. Kvantová elektrodynamika. - 4. vydání, přepracované. — M .: Fizmatlit , 2002. — 720 s. - (" Teoretická fyzika ", svazek IV). — ISBN 5-9221-0058-0 .
Fyzická encyklopedie / Ch. vyd. A. M. Prochorov. Ed. počet D. M. Alekseev, A. M. Baldin, A. M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovik-Romanov aj. - M.: Velká ruská encyklopedie, 1992. - V. 3. Magnetoplazmatická - Poyntingova věta. — 672 s.

Pauliho rovnice

Literatura

Viz také