Rovnice tří momentů

Rovnice tří momentů je rovnicí pro výpočet momentů v úloze ohybu spojitého nosníku o více polích [1] .

Je známo, že nosník v přítomnosti dalších podpor se stává staticky neurčitým . Jednou z metod výpočtu takových nosníků je silová metoda . Pomocí této metody je odvozena rovnice tří momentů [2] :

M_{i-1}l_{i}+2M_{i}(l_{i}+l_{i+1})+M_{i+1}l_{i+1}=-6\left( {\frac {\Omega _{i}a_{i}}{l_{i}}}+{\frac {\Omega _{i+1}b_{i+1}}{l_{i+1}} }\že jo).

Zde je plocha diagramu momentů i -tého staticky stanovitelného paprsku, je vzdálenost od těžiště i -tého diagramu k levému konci paprsku, je vzdálenost od těžiště i -tého diagramu k pravému konci paprsku, je délka i - tého paprsku. ${\displaystyle \Omega _{i))$ $a_{i}$ $bi}$ ${\displaystyle l_{i}=a_{i}+b_{i))$

Odvození rovnice tří momentů stanoví, že po zavedení závěsů přes podpory se získá staticky určitý systém nosníků, z nichž každý je jednoduchý nosník s podpěrami na koncích. Síly neznámé v metodě jsou momenty působící na koncích nezávislých nosníků. $n$

Historie

Poprvé rovnici pro výpočet spojitých nosníků použil stavitel mostu a železniční inženýr Bertot v roce 1855 [3] . Samotná metoda byla použita již dříve (1849) při rekonstrukci mostu přes Seinu v Asnières (předměstí Paříže , nyní známé jako Asnières-sur-Seine , fr. Asnières-sur-Seine ), ale byla publikována Clapeyronem v r. jednání Akademie věd až v roce 1857. Takže Protože myšlenku základního systému s neznámými momenty nad podpěrami poprvé vyslovil Clapeyron, je s jeho jménem spojena rovnice tří momentů [4] . Teorie spojitých nosníků byla dále rozvinuta v dílech Otto Mohra , který zobecnil teorii na případ, kdy jsou podpory umístěny v různých výškách (1860).

Postup přihlášky

Postup řešení úlohy pomocí rovnice tří momentů je následující.

1 . Nosník je rozřezán na samostatné díly (jednoduché nosníky) přídavnými vnitřními závěsy v místech uchycení podpěr.

Označení reakcí vzniklých vazeb: - momenty . ${\displaystyle M_{0},M_{1},...,M_{n))$

2 . Rozpětí (úseky nosníku mezi podporami) jsou číslována. Počet letů je . Levá konzola je považována za nulový rozsah, pravá má číslo . Délky rozpětí: , . $n$ $n+1$ $l_{i}$ $i=0,...,n+1$

3 . Z podmínky rovnováhy konzolových částí se určují momenty a . Zbývající momenty jsou soustavě rovnic tří momentů neznámé. $M_{0}$ $M_{n}$ $n-1$

4 . Diagramy momentů a posouvajících sil v polích a konzolách (pokud existují) nosníků jsou sestaveny z působení vnějšího zatížení. Každé pole je samostatný staticky definovaný nosník. $M_{p}$ $Q_p$

5 . Vypočítají se plochy diagramů momentů , v rozpětích a vzdálenosti od těžišť těchto ploch k levé ( ) a pravé ( ) podpěře odpovídajícího rozpětí. ${\displaystyle \Omega _{i))$ $i=1,...,n$ $a_{i}$ $bi}$

6 . Do diagramů momentů od vnějšího zatížení je doplněno řešení soustavy rovnic tří momentů. Výsledný diagram je diagram momentů ve spojitém nosníku.

Příklad

Sestrojte graf momentů v spojitém nosníku dlouhém 19 metrů se čtyřmi podpěrami (obr. 1). Na nosník působí rozložené zatížení kN/m, kN/m a soustředěná síla kN. $q_{1}=10$ $q_{2}=12$ $P=9$

Rýže. jeden

Délka konzoly: m. Délky rozpětí: m. Hlavní systém silové metody získáme zavedením závěsů přes podpěry (obr. 2). Momenty a jsou známé veličiny a jsou určeny z rovnovážného stavu konzol. Není zde žádná správná konzole, . Pro levou konzoli získáme . $l_{0}=4$ $l_{1}=l_{2}=l_{3}=5$ $M_{0}$ $M_{3}$ $M_{3}=0$ $M_{0}=q_{1}l_{0}^{2}/2$

Rýže. 2

Sestavíme diagramy momentů od vnějšího zatížení v nezávislých prutech hlavního (staticky určitého) systému (obr. 3). Stavíme diagramy na komprimovaném vláknu (jak je ve strojírenství zvykem; ve stavebnictví a architektuře diagramymomenty jsou obvykle postaveny na nataženém vláknu).

Rýže. 3

Zapíšeme rovnice tří momentů:

$l_{1}M_{0}+2M_{1}(l_{1}+l_{2})+M_{2}l_{2}=-6(\Omega _{1}a_{1} /l_{1}+\Omega _{2}b_{2}/l_{2}),$

$l_{2}M_{1}+2M_{2}(l_{2}+l_{3})+M_{3}l_{3}=-6(\Omega _{2}a_{2} /l_{2}+\Omega _{3}b_{3}/l_{3}).$

Zde řešíme soustavu rovnic kNm, kNm. Z těchto momentů sestavíme diagram (obr. 4). $\Omega _{1}=10,8\cdot 5/2=27,$ $a_{1}=(2+5)/3=2,333,$ $\Omega _{2}=\Omega _{3}=2fl_{2}/3=125,$ $a_{2}=b_{2}=a_{3}=b_{3}=2,5.$ $M_{1}=7,301$ $M_{2}=-39,325$

Rýže. čtyři

Přidáme (po bodech) diagramy ze zatížení (obr. 3) a z momentů (obr. 4). Získáme diagram momentů v nosníku (obr. 5).

Rýže. 5

Zjevnou výhodou metody je jednoduchost matice soustavy lineárních rovnic úlohy. Tato matice je tridiagonální , což umožňuje použít různá zjednodušená schémata numerického řešení.

Poznámky

↑ Kirsanov M. N. . Javor a javor. Řešení úloh mechaniky. - Petrohrad. : Lan, 2012. - 512 s. — ISBN 978-5-8114-1271-6 . - S. 179-181.
↑ Feodosiev V.I. Síla materiálu. - M. : Státní nakladatelství fyzikální a matematické literatury, 1960. - 536 s. - S. 217.
↑ Bernstein S.A. Eseje o historii stavební mechaniky. - M . : Státní nakladatelství literatury o stavebnictví a architektuře, 1957. - 236 s. - S. 209.
↑ Timošenko S. P. . Historie nauky o pevnosti materiálů. 2. vyd. - M. : URSS, 2006. - 536 s. — ISBN 5-484-00449-7 . - S. 176.

Literatura

Kiselev V.A. Stavební mechanika. Obecný kurz. - M .: Stroyizdat, 1986. - 520 s.
Gorshkov A. G., Troshin V. N., Shalashilin V. I. . Síla materiálu. - M. : FIZMATLIT, 2002. - 544 s. — ISBN 5-9221-0181-1 .