Dehn-Sommervilleovy rovnice

Dehn-Somervilleovy rovnice jsou kompletní sadou lineárních vztahů pro počet ploch různých rozměrů v jednoduchém mnohostěnu . Tyto rovnice mohou být přepsány pro jednoduché polytopy , protože ty jsou duální na jednoduché polytopy.

Formulace

Pro daný jednoduchý- rozměrný mnohostěn označte počtem ploch dimenze ; zejména ,. Zvažte formální částku $n$ $P$ $f_{k}$ $P$ $k$ $f_{n}=1$

{\displaystyle \sum _{k}f_{k}\cdot (t-1)^{k}=\sum _{k}h_{k}\cdot t^{k))

kde , tedy koeficienty vznikají přirozeně při otevírání závorek levého součtu. $h_{k}=\sum _{i\geqslant k}f_{i}(-1)^{ik}{\binom {i}{k))$ ${\displaystyle h_{k))$

Pak mají Dehn-Somervilleovy rovnice tvar

{\displaystyle h_{k}=h_{nk))

pro každé celé číslo . $k$

Související definice

Posloupnost se nazývá f-vektor mnohostěnu. $(f_{0},f_{1},\dots ,f_{n})$
Posloupnost se nazývá h-vektor mnohostěnu. $(h_{0},h_{1},\tečky ,h_{n})$
- Jestliže je lineární funkce v obecné poloze, to znamená, že všechny vrcholy mnohostěnu leží na různých úrovních , pak se rovná počtu vrcholů indexu ; to znamená, že přesně hrany z tohoto vrcholu jdou dolů podél . Dehn-Somervilleovy rovnice se získají nahrazením za . $\ell \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $P$ $\ell$ ${\displaystyle h_{k))$ $P$ $k$ $k$ $\ell$ $\ell$ $-\ell$
  - Navíc získáme pro libovolný , což dává netriviální nerovnosti pro -vektor. $h_{k}\geqslant 0$ $k$ $F$

Historie

V dimenzích 4 a 5 vztahy popsal Max Dehn [1] . V obecném případě rovnice popsal Duncan Somerville v roce 1927.

Poznámky

↑ M. Dehn, 1905, "Die Eulersche Formel in Zusammenhang mit dem Inhalt in der nicht-Euklidischen Geometrie", Math. Ann. 61 (1905), 561-586

Literatura

V. A. Timorin. Kombinatorika konvexních mnohostěnů . - MTSNMO, 2002. - (Letní škola "Moderní matematika"). — ISBN 5-94057-024-0 .