Poloměr plnění
Pocitový poloměr je metrickou charakteristikou Riemannovy manifoldy .
Navrhl Gromov v roce 1983. Použil poloměr plnění při dokazování systolické nerovnosti pro základní rozdělovače .
Křivky v rovině
Poloměr vyplňování ( ) uzavřené křivky C v rovině je definován jako největší poloměr kružnice, která je obsažena v křivce.
Poloměr plnění křivky C lze také definovat jako nejmenší z takových, že se křivka C smrští do bodu ve svém sousedství.
Definice
Označte kroužek A nebo , v závislosti na tom, zda je X orientovatelné nebo ne.
Pak základní třída označovaná [X] kompaktní n - rozměrné variety X je generátorem homologní grupy a nastavíme
kde označuje
Kuratowského vložení X do prostoru omezených funkcí na X .
Vlastnosti
- V jakékoli dimenzi existuje konstanta , že nerovnost
platí pro jakoukoli uzavřenou Riemannovu dimenzionální varietu .
- Toto je hlavní vlastnost poloměru plnění, kterou Gromov používá při dokazování systolické nerovnosti; důkaz s výraznými zjednodušeními a vylepšenou konstantou podává Alexander Nabutovsky. [jeden]
- Pro danou varietu alespoň 3 rozměrů je optimální konstanta v nerovnosti
závist jen na rozměru a jeho orientaci.
[2]
- Poloměr plnění nepřesahuje třetinu průměru. [3]
- Rovnosti je dosaženo pro skutečný projektivní prostor s kanonickou metrikou.
- Konkrétně poloměr plnění jednotkové kružnice s indukovanou Riemannovou metrikou je π/3, tedy jedna šestina její délky.
- Systola základního potrubí nepřesahuje šest poloměrů jeho plnění.
- Tato nerovnost se stává rovností pro reálné projektivní prostory, jak bylo uvedeno výše.
Poznámky
- ↑ Alexander Nabutovsky, Lineární hranice pro konstanty v Gromovově systolické nerovnosti a související výsledky. arXiv : 1909.12225
- ↑ Brunnbauer, Michael, Vyplňování nerovností nezávisí na topologii. J. Reine Angew. Matematika. 624 (2008), 217–231.
- ↑ Katz, M.: Poloměr plnění dvoubodových homogenních prostorů. Journal of Differential Geometry 18, číslo 3 (1983), 505–511.
Literatura
- Gromov, M.: Filling Riemannian manifolds, Journal of Differential Geometry 18 (1983), 1-147.
- Katz, M.: Poloměr vyplnění dvoubodových homogenních prostorů. Journal of Differential Geometry 18, číslo 3 (1983), 505-511.
- Katz , Michail G. (2007), Systolická geometrie a topologie , sv. 137, Mathematical Surveys and Monographs, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4177-8 , OCLC 77716978