Filtr (matematický)

Filtr je podmnožinou částečně uspořádané množiny , která splňuje určité podmínky. Koncept pochází z obecné topologie , kde filtry vznikají na mřížce všech podmnožin libovolné množiny uspořádané inkluzní relací. Filtr je koncept dvojí k ideálu .

Filtry zavedl Henri Cartan v roce 1937 [1] [2] a následně je použil Nicola Bourbaki ve své knize Topologie Générale jako alternativu k podobné koncepci sítě , kterou v roce 1922 vyvinuli E. G. Moore a G. L. Smith.

Definice v rámci teorie svazů

Podmnožina polomřížky se nazývá filtr if $F$ $L$

pro všechny , $a,b\in F$ $a\land b\in F$
pro všechny a takové , $v F$ $b$ $a\leq b$ $b\in F$

O filtru se říká , že je nativní , pokud . $F\neq L$

Vlastní filtr, který neobsahuje žádné další vlastní filtry, se nazývá ultrafiltr nebo maximální filtr .

Mřížkový filtr se nazývá jednoduchý , pokud z toho vyplývá, že buď , nebo . $F$ $a,b\in L$ $a\nebo b\in F$ $v F$ $b\in F$

Minimální filtr obsahující daný prvek se nazývá hlavní filtr generovaný hlavním prvkem . $X$ $X$

Pokud filtr, tak je ideální . $F$ $L\obrácené lomítko F$

Filtr booleovské algebry

Filtr na Booleově algebře je podmnožina , pro kterou jsou splněny podmínky [3] : $M$ $D\subseteq M$

$D\neq \varnothing$ ,
$x,y\in D\Rightarrow (x\cap y)\in D$ ,
$x\in D,x\leqslant y\Rightarrow y\in D$ ,
$x\in D\Rightarrow {\bar {x}}\notin D$ .

Filtr na Booleově algebře se nazývá ultrafiltr, pokud je splněna následující podmínka: $D$ $M$

$\forall x\in M:x\in D\vee {\bar {x}}\in D$ .

Filtr na Booleově algebře se nazývá jednoduchý, pokud splňuje podmínku: $D$ $M$

$\forall x,y\in M:(x\cup y)\in D\Rightarrow x\in D\vee y\in D$ .

Filtr na Booleově algebře je považován za maximální, pokud není obsažen v žádném jiném filtru na . $D$ $M$ $M$

Filtry na sadách

Speciálním případem filtru je filtr na sadě. Pro každou sadu můžete definovat mřížku jejích podmnožin . Pak je filtr zapnutý definován jako podmnožina splňující následující podmínky [4] : $X$ $({\mathcal {P}}(X),\subseteq )$ $\mathfrak F$ $X$ ${\mathcal {P}}(X)$

${\mathfrak {F}}\neq \varnothing$
$\varnothing \notin {\mathfrak {F))$
průnik libovolných dvou prvků leží v $\mathfrak F$ $\mathfrak F$
nadmnožina jakéhokoli prvku spočívá v $\mathfrak F$ $\mathfrak F$

Filtr zobrazení se nazývá filtr vygenerovaný množinou . Filtr generovaný množinou jednoho prvku se nazývá hlavní . Hlavní filtr je ultrafiltr. ${\mathfrak {F}}_{Z}=\{Y\in {\mathcal {P}}(X)\mid Z\subseteq Y\}$ $Z$

Základna filtru

Nechť je filtr na sadě . Rodina podmnožin se nazývá báze (základ) filtru , pokud jakýkoli prvek filtru obsahuje nějaký prvek báze , to znamená, že pro jakýkoli existuje takový, že . V tomto případě se filtr shoduje s rodinou všech možných nadmnožin sad od . Zejména filtry, které mají společnou základnu, jsou stejné. Také se říká, že základna generuje filtr $\mathfrak F$ $X$ ${\mathfrak {B}}\subset {\mathfrak {F}}$ $\mathfrak F$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak B}$ $Y\in {\mathfrak {F}}$ $B\in {\mathfrak {B}}$ $B\subset Y$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak B}$ $\mathfrak F$

Aby mohla být rodina podmnožin množiny základem nějakého filtru na , je nutné a postačující, aby byly splněny následující podmínky ( základní axiomy ): ${\mathfrak {B}}=\{B\}$ $X$ $X$

${\mathfrak {B}}\neq \varnothing$ ;
$\varnothing \not \in {\mathfrak {B}}$ ;
pro jakýkoli existuje takový, že $A,B\in {\mathfrak {B}}$ $C\in {\mathfrak {B}}$ $A\cap B\supset C$ .

Dvě báze a jsou nazývány ekvivalentní , pokud jakýkoli prvek obsahuje nějaký prvek a naopak, jakýkoli prvek obsahuje nějaký prvek . ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak B}'$ $B\in {\mathfrak {B}}$ $B'\in {\mathfrak {B))'$ $B'\in {\mathfrak {B))'$ $B\in {\mathfrak {B}}$

Ekvivalentní báze generují stejný filtr. Mezi všemi bázemi ekvivalentními dané bázi existuje báze, která je maximální s ohledem na zahrnutí, konkrétně filtr generovaný touto bází . Existuje tedy přirozená korespondence jedna ku jedné mezi třídami ekvivalentních bází a filtrů. ${\mathfrak B}$ $\mathfrak F$

Porovnání filtrů

Nechte sadu mít dva filtry a . O filtru se říká , že majorizuje filtr ( silnější , tenčí ) . V tomto případě se také říká, že filtr je majorizován filtrem ( slabší , hrubší ). $X$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$ ${\mathfrak {F))'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F}}'\supset {\mathfrak {F}}$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$

Říkají, že základna je silnější než základna , a píší, zda nějaký prvek obsahuje nějaký prvek . Báze je silnější než základna právě tehdy, když je filtr generovaný základem silnější než filtr generovaný základnou . ${\mathfrak B}'$ ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak {B}}'\geqslant {\mathfrak {B}}$ $B\in {\mathfrak {B}}$ $B'\in {\mathfrak {B))'$ ${\mathfrak B}'$ ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak {F))'$ ${\mathfrak B}'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak B}$

Základy a jsou ekvivalentní právě tehdy, když jsou oba a . ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak B}'$ ${\mathfrak {B}}'\geqslant {\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}\geqslant {\mathfrak {B}}'$

Filtry v topologických prostorech

Dovolit být topologický prostor a být filtr na množině . Bod se nazývá limita filtru , pokud nějaké okolí bodu patří do filtru . Označení: . Pokud je jediným limitem filtru, napište také . $(X,{\mathcal {T))$ $\mathfrak F$ $X$ $a\in X$ $\mathfrak F$ $V(a)$ $A$ $\mathfrak F$ $a\in \lim {\mathfrak {F}}$ $A$ $a=\lim {\mathfrak {F}}$

Pro filtr generovaný základem je bod jeho limitem tehdy a jen tehdy, když nějaké okolí úplně obsahuje nějakou množinu z . $\mathfrak F$ ${\mathfrak B}$ $A$ $V(a)$ ${\mathfrak B}$

V Hausdorffově topologickém prostoru může mít filtr nejvýše jednu limitu. Platí to i obráceně: pokud má každý filtr nejvýše jeden limit, pak je prostor Hausdorffův.

Bod se nazývá mezní bod (bod dotyku, částečná mez) filtru , pokud patří do uzávěru libovolné množiny od , tedy pro všechny . Ekvivalentně pro jakékoli okolí bodu a pro jakékoli , . Jakýkoli limitní bod ultrafiltru je jeho limitem. $a\in X$ $\mathfrak F$ $A$ $\mathfrak F$ $a\in {\overline {Y}}$ $Y\in {\mathfrak {F}}$ $V(a)$ $A$ $Y\in {\mathfrak {F}}$ $V(a)\cap Y\neq \varnothing$

V kompaktním topologickém prostoru má každý filtr limitní bod a každý ultrafiltr má limit.

Příklady

Množina všech sousedství bodu v topologickém prostoru je filtr;
Jestliže je nekonečná množina, pak množina doplňků konečných množin je filtr. Takový filtr se nazývá konečný filtr nebo Fréchetův filtr . $X$
Jestliže je nekonečná množina mohutnosti , pak je filtrem také množina doplňků množin mohutností . $X$ $\mathfrak m$ $<{\mathfrak {m))$

Viz také

Poznámky

↑ H. Cartan, "Théorie des filtres" Archivováno 11. května 2015 ve Wayback Machine , ČR Acad. Paris , 205 , (1937) 595-598.
↑ H. Cartan, "Filtres et ultrafiltres" Archivováno 14. října 2015 ve Wayback Machine , ČR Acad. Paris , 205 , (1937) 777-779.
↑ Lavrov, 1975 , str. 22.
↑ Aleksandryan, 1979 , s. 100.

Literatura

Aleksandryan R.A. , Mirzakhanyan E.A. Obecná topologie. - M . : Vyšší škola, 1979. - 336 s.
Lavrov I. A. , Maksimova L. L. Problémy v teorii množin, matematické logice a teorii algoritmů. — M .: Nauka, 1975. — 240 s.