Binet-Cauchyho vzorec

Binet-Cauchyho formule je věta o determinantu součinu dvou pravoúhlých matic , za předpokladu, že se jedná o čtvercovou matici . Dokázáno na počátku 19. století francouzskými matematiky J. Binetem a O. Cauchym .

Formulace

Součin dvou pravoúhlých matic a dává čtvercovou matici pořadí, pokud má sloupce a řádky a matice má sloupce a řádky. Minori matic a stejného řádu rovnající se nejmenšímu z čísel a nazývají se navzájem odpovídající, pokud jsou ve sloupcích (matice ) a řádcích (matice ) se stejnými čísly. $A$ $B$ $m$ $A$ $n$ $m$ $B$ $m$ $n$ $A$ $B$ $n$ $m$ $A$ $B$

Maticový determinant je roven nule if , a je roven součtu párových součinů odpovídajících minoritních řádů if (součet je převzat ze všech množin maticových sloupců a řádků matice s rostoucími čísly ) [1] . $AB$ $n<m$ $m$ $n\geqslant m$ $A$ $B$ $i_1<i_2<\ldots<i_m$

Poznámky

V případě, že vzorec je zřejmý. Protože sloupce matice jsou lineární kombinace sloupců matice , pak v případě, kdy je počet sloupců matice větší než počet sloupců matice , je matice zjevně degenerovaná . (to znamená, že jeho determinant je roven nule). $n<m$ $|AB|=0$ $AB$ $A$ $AB$ $A$ $AB$
V tomto případě má Binet-Cauchyho vzorec dobře známou formu: . $n=m$ $|AB|=|A|\,|B|$
V tomto případě je důkaz Binet-Cauchyho formule složitější [1] . $n>m$

Příklad

Nechat

A=\left(\begin{matice} a_1 & a_2 & \ldots & a_n \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_n \\ \end{matice}\right),\quad B =\left(\begin{matice } a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \vdots & \vdots \\ a_n & b_n \\ \end{matrix}\vpravo).

Pak

A\,B=\left(\begin{matice} a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2 & a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n \\ a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n & b_1^+ ^2+\ldots+b_n^2 \\ \end{matrix}\right),

a odpovídající nezletilí mají formu

\left|\begin{matrix} a_i & b_i \\ a_j & b_j \\ \end{matrix}\right|

pro všechny , přebírání hodnot od do . $i<j$ $jeden$ $n$

Binet-Cauchyho vzorec v tomto případě dává rovnost

(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\ldots+b_n^2)-(a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n)^2=\sum_{i< j}(a_ib_j-a_jb_i)^2,

z čehož (v případě, že všechna a jsou reálná čísla ) vyplývá Cauchyho-Bunyakovského nerovnost [1] : $a_{i}$ $bi}$

(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\ldots+b_n^2)\geqslant(a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n)^2.

Literatura

Gantmakher F. R. teorie matice. — M.: Nauka, 1966.
Faddeev D. K. Přednášky o algebře. — M.: Nauka, 1984.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineární algebra a geometrie. — M.: Fizmatlit, 2009.

Poznámky

↑ 1 2 3 Šafarevič I.R., Remizov A.O. Lineární algebra a geometrie. — M.: Fizmatlit, 2009.

Odkazy

Důkaz teorému (Přednáška V.P. Grigorieva, MPEI)