Formule Cardi

Cardiho vzorec je vzorec pro limitní pravděpodobnost zhroucení v problému dvourozměrné perkolace . Předpověděl na počátku 90. let Cardy na základě konformního uvažování teorie pole uvádí, že mezní pravděpodobnost zhroucení mezi oblouky hranicí jednoduše spojené domény v kritickém problému perkolace je $[a,b]$ $[CD]$ $\Omega$

\Pi (\Omega ;[a,b],[c,d])={\frac {\Gamma (2/3)}{\Gamma (1/3)\Gamma (4/3)))\eta ^{{1/3}}{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3)),{\frac {2}{3));{\frac {4}{ 3)),\eta \right)=1-{\frac {\Gamma (2/3)}{\Gamma (1/3)\Gamma (4/3)))(1-\eta )^{{ 1/3)){}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3)),{\frac {2}{3));{\frac {4}{3)) ,1-\eta\right),

kde je hypergeometrická funkce a je dvojitý poměr ${}_{2}F_{1}$ $\eta$

\eta ={\frac {x_{4}-x_{3}}{x_{3}-x_{1}}}:{\frac {x_{4}-x_{2}}{x_{2}- x_{1}}}

čtyři obrazy bodů pod konformním mapováním oblasti do horní poloroviny . [1] [2] [3] $(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})$ $abeceda$ $\Omega$

Tento vzorec přeformuloval Lennart Carleson [4] do následující podoby: pokud mapa, která konformně transformuje oblast na pravidelný trojúhelník se stranou 1 a body , a na vrcholy tohoto trojúhelníku, transformuje bod na bod umístěný ve vzdálenosti od vrcholu obrázku , pak je požadovaná pravděpodobnost [5] [2] . $\Omega$ $A$ $b$ $C$ $d$ $X$ $C$ $X$

Pro případ trojúhelníkové mřížky byl tento vzorec důsledně dokázán na počátku 20. století Stanislavem Smirnovem pomocí techniky diskrétních harmonických funkcí . [5] [2] [6]

Vzorec

Historické pozadí

Otázka pravděpodobnosti rozpadu pro konkrétní (trojrozměrný) model (černé a bílé koule zabalené v krabici dané velikosti) byla položena již v roce 1894 v časopise American Mathematical Monthly . De Volson Wood navrhl [7] následující problém:

Do a je vhozen stejný počet bílých a černých koulí stejné velikosti

obdélníková krabice, jaká je pravděpodobnost, že dojde k souvislému kontaktu bílých kuliček z jednoho konce krabice na opačný konec? Jako speciální příklad předpokládejme, že je 30 kuliček na délku, 10 na šířku a 5 (nebo 10)

vrstvy hluboko

Za zmínku stojí, že řešení P. H. Philbricka publikované v tomto čísle bylo přibližné (předpokládalo, že nejpravděpodobnější je existence členění v přímce); na stejném místě redakce nabídla zveřejnění přesného řešení, pokud ho někdo najde. Jak nyní víme, předpoklad učiněný v přibližném řešení byl daleko od pravdy. [čtyři]

V roce 1957 položili Broadbent a Hammersley ve své práci základy matematické teorie perkolace [8] , jejíž výchozím bodem bylo studium úniku plynu přes uhlíkový filtr plynové masky [9] .

Počátkem 90. let se objevuje práce Langlandse et al [10] [11] , ve které jsou studovány různé pravděpodobnosti zhroucení v obdélníkové oblasti pro šest různých modelů a je zjištěno, že (v rámci přesnosti numerických experimentů) tyto funkce pro různé modely se shodují. Kromě toho Aizenman předkládá [12] [13] domněnku o konformní invarianci pravděpodobnosti zhroucení.

Téměř okamžitě poté Cardi přichází se svým vzorcem pro pravděpodobnost úniku. [jeden]

Prohlášení o problému

Cardiho vzorec dává odpověď na problém rozpadu. Konkrétně uvažujeme jednoduše spojenou doménu v rovině se čtyřmi vyznačenými body na hranici. Pro každý je tato oblast aproximována mřížkou s krokem (nebo měřítkem) - v závislosti na problému, čtvercový, trojúhelníkový nebo složitější; výsledkem je graf s vyznačenými body . $\Omega$ $abeceda$ $\delta>0$ $\delta$ $\Omega ^{{\delta }}$ $a^{\delta },b^{\delta },c^{\delta },d^{\delta }$

Pro každý je nalezena pravděpodobnost poruchy v tomto grafu. Konkrétně, vrcholy grafu jsou nezávisle, každý s pravděpodobností 1/2, deklarovány jako "otevřené" nebo "uzavřené" a požadovaná pravděpodobnost je pravděpodobnost, že cesta od oblouku k oblouku vede pouze podél otevřených vrcholů. $\delta>0$ $\Pi _{{\delta ))$ $[a^{\delta },b^{\delta }]$ $[c^{\delta },d^{\delta }]$

Nakonec je požadovaná pravděpodobnost zhroucení definována jako limit „diskretizovaných“ pravděpodobností jako , klesající k nule: $\Pi _{{\delta ))$ $\delta$

\Pi (\Omega ,[a,b],[c,d]):=\lim _({\delta \to 0}}\Pi _{{\delta }}.

Odpověď Cardi

Cardiho navrhovaná (s použitím konformní teorie pole ) odpověď na pravděpodobnost zhroucení byla:

Pravděpodobnost rozdělení je konformně invariantní, to znamená, že pokud mezi regiony a existuje konformní zobrazení , které transformuje body na hranici na body na hranici , pak $\Omega$ $\ Omega '$ $\varphi$ $abeceda$ $\Omega$ $abeceda'$ $\ Omega '$

\Pi (\Omega ;[a,b],[c,d])=\Pi (\Omega ';[a',b'],[c',d']).

Stačí tedy nastavit pravděpodobnost zhroucení pouze pro jednu jednoduše připojenou oblast a tři ze čtyř bodů lze opravit. $abeceda$

V horní polorovině pro body je pravděpodobnost zhroucení vyjádřena pomocí hypergeometrické funkce jako [2] ${\displaystyle \mathbb {C} _{+}=\{Im\,z>0\))$ $0,1-u,1,\infty$ ${}_{2}F_{1}$

\Pi (\mathbb {C} _{+};[1-u,1],[\infty ,0])={\frac {\Gamma (2/3)}{\Gamma (1/ 3)\Gamma (4/3)}}u^{1/3}{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3)),{\frac {2}{3 ));{\frac {4}{3}},u\right).

Toto zobrazení lze přepsat jako integrál

\Pi (\mathbb {C} _{+};[1-u,1],[\infty ,0])={\frac {1}{\int _{0}^{1}( v(1-v))^{-2/3}dv}}\int _{0}^{u}(v(1-v))^{-2/3}dv.

Carlesonova reformulace

Krátce poté, co se objevil Cardiho vzorec, si Lennart Carleson všiml [4] , že integrál na pravé straně integrálního zobrazení definuje (jako funkci na horní polorovině) konformní zobrazení horní poloroviny na pravidelnou trojúhelník. Proto lze Cardiho vzorec zjednodušit tím, že za plochu považujeme pravidelný trojúhelník, ve kterém jsou tři ze čtyř označených bodů ve vrcholech. V tomto případě se pravděpodobnost zhroucení ukáže být jednoduše poměrem segmentů , které nejsou stranou trojúhelníku, ke straně trojúhelníku. $[abeceda]$

Důkaz pro případ trojúhelníkové mřížky

Cardiho vzorec pro případ trojúhelníkové mřížky dokázal Smirnov pomocí techniky diskrétní komplexní analýzy. Jedním z kroků jeho důkazu bylo rozšíření pravděpodobnosti zhroucení na funkci na vnitřku regionu. Konkrétně pro diskretizovanou oblast se třemi vyznačenými body na hranici uvažujeme funkci na této ploše, která specifikuje pravděpodobnost, že bude mít otevřenou cestu od oblouku k hraničnímu oblouku oddělujícímu bod od oblouku . Pravděpodobnost zhroucení je dána hodnotou této funkce v hraničním bodě . $\Omega _{{\delta ))$ $A_{{\delta }},B_{{\delta }},C_{{\delta }}$ $h_{{C,\delta }}(z)$ $A_{{\delta }}C_{{\delta }}$ $B_{{\delta }}C_{{\delta }}$ $A_{{\delta }}B_{{\delta }}$ $z$ $\Pi _{{\delta }}(\Omega _{{\delta }});[A_{{\delta }}B_{{\delta }}],[C_({\delta }}D_{{\ delta }}])$ $D_{{\delta }}$

Ukazuje se, že pokud jde o součet tří takových funkcí,

h_{{\delta }}=h_{{A,\delta }}(z)+h_{{B,\delta }}(z)+h_{{C,\delta }}(z),

a pro jejich lineární kombinaci

s_{{\delta }}=h_{{A,\delta }}(z)+\tau h_{{B,\delta }}(z)+\tau h_{{C,\delta }}(z) ,\quad \tau =e^{{2\pi i/3}},

diskrétní antiholomorfní diferenciál se ukáže být malý (a inklinuje k nule, jak se krok snižuje ). To znamená, že limita funguje a je holomorfní . Konečně, funkce je holomorfní a nabývá pouze skutečných hodnot; ukazuje se tedy jako konstantní a vzhledem k hraničním hodnotám shodně rovný jednotě. ${\bar {\částečný ))$ $\delta$ $h=\lim _{{\delta \to 0}}h_{{\delta }}$ $s=\lim _{{\delta \to 0}}s_{{\delta }}$ $h$

Analýza funkce s ukazuje, že conformally mapuje oblast do pravidelného trojúhelníku tím, že překládá body A, B a C do bodů ; Cardiho vzorec je pak obnoven na základě studia chování funkcí na hranici. $\Omega$ $0,1,e^{{\pi i/3}}$

Poznámky

↑ 12. Cardy , 1992 .
↑ 1 2 3 4 Smirnov, 2006 .
↑ Sheffield, S. a Wilson, D.B. Schrammův důkaz Wattsova vzorce . Získáno 11. září 2011. Archivováno z originálu 25. srpna 2012.
↑ 1 2 3 Projev Smirnova S. K. na Všeruském kongresu učitelů matematiky na Moskevské státní univerzitě . Získáno 19. srpna 2011. Archivováno z originálu dne 25. srpna 2012. (neurčitý)
↑ 1 2 Smirnov, 2001 , s. 241.
↑ Vzorec Beffary V. Cardyho na trojúhelníkové mřížce, snadný způsob (odkaz není k dispozici) . Získáno 17. srpna 2011. Archivováno z originálu 31. srpna 2012. (neurčitý)
↑ Wood DV , Philbrick PH Řešení problémů: 5 // American Mathematical Monthly . - 1894. - V. 1 , č. 6 . - S. 211-212 .
↑ Broadbent SR, Hammersley JH Perkolační procesy, I. Krystaly a bludiště // Proc . Camb. Phil. Soc.. - 1957. - Sv. 53. - S. 629-641.
↑ Efros, 1982 , str. 1-2.
↑ Langlands RP, Pichet C., Pouliot Ph., Saint-Aubin Y. O univerzálnosti pravděpodobností křížení ve dvourozměrné perkolaci // Journal of Statistical Physics. — Sv. 67. - S. 553-574. - doi : 10.1007/BF01049720 .
↑ Langlands RP, Pichet C., Pouliot Ph., Saint-Aubin Y. O univerzálnosti pravděpodobností křížení ve dvourozměrné perkolaci // Preprint CRM-1785. -říjen 1991.
↑ Langlands R., Pouliot Ph., Saint-Aubin Y. Konformní invariance ve dvourozměrné perkolaci // Bull. amer. Matematika. soc. (NS). — Sv. 30.—S. 1-61.
↑ Smirnov, 2001 , str. 239.

Odkazy

Austin D. Percolation : Proklouznutí trhlinami . Sloupec funkcí American Mathematical Society . Získáno 8. září 2011. Archivováno z originálu 15. května 2012.

Literatura

Efros A.L. Fyzika a geometrie nepořádku . - Knihovna "Quantum" . - Moskva: Nauka , 1982. - 265 s.
Cardy J. Kritická perkolace v konečných geometriích // J. Phys. A. - 1992. - T. 25 . - C. L201-L206 .
Smirnov S. Kritická perkolace v rovině. I. Konformní invariance a Cardyho vzorec. II. Limit škálování kontinua. . (neurčitý)
Smirnov S. Kritická perkolace v rovině: konformní invariance, Cardyho vzorec, meze škálování // CR Acad. sci. Paříž, Ser. I. - 2001. - Sv. 333. - S. 239-244.
Smirnov S. Critical percolation and conformal invariance (anglicky) // XIVth International Congress on Mathematical Physics, Lisabon, Portugalsko, 28. července – 2. srpna 2003 / Zambrini, Jean-Claude (ed.). - Hackensack, NJ: World Scientific Publishing, 2006. - S. 99-112 . — ISBN 978-9812562012 .
Vzorec Beffary V. Cardy na trojúhelníkové mřížce, snadný způsob (nedostupný odkaz) . Získáno 17. srpna 2011. Archivováno z originálu 31. srpna 2012. (neurčitý)
Kesten H. Some Highlights on Perkolation // Proceedings of the International Congress of Mathematicians: Beijing 2002, August 20-28. - T. 1 . -S . 345--362 . - ISBN 978-7040086904 .