Carnotův vzorec

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 26. dubna 2022; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Carnotův vzorec je věta o geometrii trojúhelníku, která dává do souvislosti součet vzdáleností od libovolného bodu v rovině ke 3 stranám trojúhelníku a poloměrům jeho kružnic vepsaných a opsaných. Pojmenován po Lazaru Carnotovi ( 1753-1823 ) .

Formulace

Nechť D je střed kružnice opsané trojúhelníku ABC .

Potom součet vzdáleností od D ke stranám trojúhelníku ABC , braný se znaménkem mínus, když výška od D ke straně leží zcela mimo trojúhelník, bude roven , kde r je poloměr kružnice vepsané a R je kružnice opsaná. $R+r$

Zejména

\pm DF\pm DG\pm DH=R+r,

se správnou volbou postav [1] :str.83 .

Jiné znění

Carnotův vzorec [2] :

R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={\frac {1}{2))(d_{A}+d_{B}+d_{C}),

kde jsou vzdálenosti od středu opsané kružnice ke stranám trojúhelníku (jsou brány se znaménkem podle toho, na které straně je střed) a jsou vzdálenosti od ortocentra k vrcholům trojúhelníku trojúhelník. ${\displaystyle k_{a},k_{b},k_{c))$ $a,b,c$ ${\displaystyle d_{A},d_{B},d_{C))$ $A, B, C$

Vzdálenost od středu opsané kružnice ke straně trojúhelníku je například: $A$

k_{a}=a/(2\mathop {\rm {tg)) A);

vzdálenost od ortocentra , například, k vrcholu trojúhelníku je: $A$

d_{A}=a/(\mathop {\rm {tg)) A).

Poznámky

Důkaz věty používá Ptolemaiovu větu .
Carnotův vzorec se často nazývá Carnotova věta [3] .

Důsledky

Japonská věta o vepsaném mnohoúhelníku : [3] Je-li vepsaný -úhelník rozřezán na trojúhelníky disjunktními úhlopříčkami, pak součet poloměrů jejich vepsaných kružnic nezávisí na způsobu řezání. $n$ $n-2$
- Pokud je tato podmínka splněna, je navíc vepsán konvexní -gon. $n$

Součty poloměrů zeleného a červeného kruhu jsou stejné.

Poznámky

↑ Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover, 2007.
↑ Zetel S. I. Nová geometrie trojúhelníku. Průvodce pro učitele. 2. vydání. M.: Uchpedgiz, 1962. problém na str. 120-125. odstavec 57, s.73.
↑ 1 2 Honsberger, 1990 .

Viz také

Carnotovo kritérium

Literatura

Honsberger R. Stará japonská věta // Kvant . - 1990. - č. 7 . - S. 54-57 .

Odkazy

Weisstein, Eric W. Carnotův teorém (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .