Formule Liouville-Ostrogradského

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 1. června 2020; kontroly vyžadují 5 úprav .

Liouville-Ostrogradského vzorec je vzorec, který dává do souvislosti Wronského determinant (Wronskian) pro řešení diferenciální rovnice a koeficienty v této rovnici.

Nechť existuje diferenciální rovnice tvaru

$y^{{(n)}}+P_{1}(x)y^{{(n-1)}}+P_{2}(x)y^{{(n-2)}}+.. .+P_{n}(x)y=0,$

kde je potom Vronského determinant $W(x)=W(x_{0})e^{-\int \limits _{x_{0}}^{x}P_{1}(\zeta )d\zeta }=Ce^{ -\int P_{1}(x)dx},$ $W(x)$

Pro lineární homogenní systém diferenciálních rovnic

$y'(x)=A(x)y(x),$ kde je spojitá čtvercová matice řádu , platí Liouville-Ostrogradského formule $Sekera)$ $n$

$W(x)=W(x_{0})e^{\int \limits _{x_{0}}^{x}\mathop {\rm {tr}} A(\zeta )d\zeta },$ kde je stopa matrice ${\mathop {{\rm {tr}}}}A(x)$ $Sekera)$

Diferenciační pravidlo pro determinant dimenze 2

Derivace determinantu vzhledem k proměnné x má tvar $\Delta =\Delta (x)={\begin{vmatrix}a_{{11}}(x)&a_{{12}}(x)\\a_{{21}}(x)&a_{{22}} (x)\end{vmatrix}}=a_{{11}}a_{{22}}-a_{{12}}a_{{21}}$ ${\frac {d\Delta }{dx}}=(a_{{11}}a_{{22}}-a_{{12}}a_{{21}})'=a_{{11}}'a_ {{22}}+a_{{11}}a_{{22}}'-a_{{12}}'a_{{21}}-a_{{12}}a_{{21}}'={\ begin{vmatrix}a_{{11}}'&a_{{12}}'\\a_{{21}}&a_{{22}}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{11} }&a_{{12}}\\a_{{21}}'&a_{{22}}'\end{vmatrix}}$

Dimension Determinant Differentiation Rule $n$

Nechat $\Delta =\Delta (x)=\det \left({\begin{matrix}a_{{11}}(x)&a_{{12}}(x)&\tečky &a_{{1n}}(x) \\a_{{21}}(x)&a_{{22}}(x)&\tečky &a_{{2n}}(x)\\\vtečky &\vtečky &\dtečky &\vtečky \\a_{{ n1}}(x)&a_{{n2}}(x)&\tečky &a_{{nn}}(x)\\\end{matrix}}\vpravo)$

Pak pro derivaci platí $\Delta '(x)$

$\Delta '(x)={\begin{vmatrix}a_{{11}}'(x)&a_{{12}}'(x)&\tečky &a_{{1n}}'(x)\\a_{ {21}}(x)&a_{{22}}(x)&\tečky &a_{{2n}}(x)\\\vtečky &\vtečky &\dtečky &\vtečky \\a_{{n1}}( x)&a_{{n2}}(x)&\tečky &a_{{nn}}(x)\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{{11}}(x)&a_{{ 12}}(x)&\tečky &a_{{1n}}(x)\\a_{{21}}'(x)&a_{{22}}'(x)&\tečky &a_{{2n}}' (x)\\\vtečky &\vtečky &\dtečky &\vtečky \\a_{{n1}}(x)&a_{{n2}}(x)&\tečky &a_{{nn}}(x)\\ \end{vmatrix}}+\tečky +{\begin{vmatrix}a_{{11}}(x)&a_{{12}}(x)&\tečky &a_{{1n}}(x)\\a_{ {21}}(x)&a_{{22}}(x)&\tečky &a_{{2n}}(x)\\\vtečky &\vtečky &\dtečky &\vtečky \\a_{{n1}}' (x)&a_{{n2}}'(x)&\tečky &a_{{nn}}'(x)\\\end{vmatrix}}$

( -tý řádek je diferencován v -tém členu ) $i$ $i$

Důkaz

Vzorec použijeme pro úplné rozšíření determinantu

$\Delta (x)=\součet _{{i_{1},i_{2},\tečky ,i_{n}}}(-1)^{{P(i_{1},i_{2},\ tečky ,i_{n})}}a_{{1i_{1}}}(x)a_{{2i_{2}}}(x)\ctečky a_{{ni_{n}}}(x)$

Součet přebírá všechny možné permutace čísel , je parita permutace . $1,2,\tečky ,č$ $P(\cdot )$

Odlišením tohoto výrazu vzhledem k , dostaneme $X$

${\begin{aligned}[l]\Delta '(x)&=\sum _{{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}}(-1)^{{P( i_{1},i_{2},\tečky ,i_{n})}}{\frac {d\left(a_{{1i_{1}}}(x)a_{{2i_{2}}}( x)\cdots a_{{ni_{n}}}(x)\right)}{dx}}=\\&=\součet _{{i_{1},i_{2},\tečky ,i_{n }}}(-1)^{{P(i_{1},i_{2},\tečky ,i_{n})}}\left(a_{{1i_{1}}}'(x)a_{ {2i_{2}}}(x)\cdots a_{{ni_{n}}}(x)+\tečky +a_{{1i_{1}}}(x)a_{{2i_{2}}}( x)\cdots a_{{ni_{n}}}'(x)\right)=\\&=\sum _{{i_{1},i_{2},\tečky ,i_{n}}}( -1)^{{P(i_{1},i_{2},\tečky ,i_{n})}}a_{{1i_{1}}}'(x)a_{{2i_{2}}} (x)\cdots a_{{ni_{n}}}(x)+\\&+\součet _{{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}}(-1) ^{{P(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}}a_{{1i_{1}}}(x)a_{{2i_{2}}}'(x) \cdots a_{{ni_{n}}}(x)+\\&+\tečky +\\&+\sum _{{i_{1},i_{2},\tečky ,i_{n}}} (-1)^{{P(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}}a_{{1i_{1}}}(x)a_{{2i_{2}}} (x)\cdots a_{{ni_{n}}}'(x)\end{aligned}}$

V každém součtu jsou prvky -tého řádku diferencovány a pouze ony. Nahrazením součtů determinanty dostaneme $i$

Důkaz pro rovnici druhého řádu

Nechť funkce v rovnici jsou spojité na , a $y''+p(x)y'+q(x)y=0$ $p(x),q(x)$ $[a;b]$

$y_{1}=y_{1}(x),y_{2}=y_{2}(x)$ jsou řešení této rovnice.

Odlišením Wronského determinantu získáme

${\frac {dW}{dx}}={\frac {d}{dx}}{\begin{vmatrix}y_{{1}}&y_{{2}}\\y_{{1}}'&y_{ {2}}'\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}y_{{1}}'&y_{{2}}'\\y_{{1}}'&y_{{2}}'\end {vmatrix}}+{\begin{vmatrix}y_{{1}}&y_{{2}}\\y_{{1}}''&y_{{2}}''\end{vmatrix}}$

První člen je 0, protože tento determinant obsahuje 2 stejné řádky. Střídání

$y_{1}''=-py_{1}'-qy_{1}$

$y_{2}''=-py_{2}'-qy_{2}$

do druhého volebního období se dostáváme

${\frac {dW}{dx}}={\begin{vmatrix}y_{{1}}&y_{{2}}\\-py_{1}'-qy_{1}&-py_{2}'- qy_{2}\end{vmatrix}}$

Přidáním prvního řádku, vynásobeného q, k druhému, dostaneme

${\frac {dW}{dx}}={\begin{vmatrix}y_{{1}}&y_{{2}}\\-py_{1}'&-py_{2}'\end{vmatrix}} =-pW$

řešení jsou lineárně nezávislá , takže

$W\neq 0\to {\frac {dW}{W}}=-pdx$ je diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými.

Integrace, rozumíme

$\ln |W|=-\int p(x)dx+\ln |C|\to \ln \left|{\frac {W}{C}}\right|=-\int p(x) dx\to W=Ce^{-\int p(x)dx}$

Důkaz pro lineární systém obyčejných diferenciálních rovnic

Nechť vektorové funkce jsou řešením lineárního systému ODR. Matici zavádíme následovně ${{\mathbf y}}_{1}(x),{{\mathbf y}}_{2}(x),\tečky ,{{\mathbf y}}_{n}(x)$ $\Phi$

$\Phi (x)=\left\|{\begin{matrix}{\mathbf {y} }_{1}(x)&{\mathbf {y} }_{2}(x)&\ tečky &{\mathbf {y} }_{n}(x)\end{matrix}}\right\|$

Pak . Využijme toho, že jsou řešením systému ODR, tedy . $W(x)\ekviv \det \Phi (x)$ $y_{i}(x)$ ${{\mathbf y}}_{i}'(x)=A(x){{\mathbf y}}_{i}(x)$

V maticové formě může být druhý reprezentován jako $\left\|{\begin{matrix}{\mathbf {y} }_{1}'(x)&{\mathbf {y} }_{2}'(x)&\tečky &{\ mathbf {y} }_{n}'(x)\end{matrix}}\right\|=\left\|{\begin{matrix}A(x){\mathbf {y} }_{1}( x)&A(x){\mathbf {y} }_{2}(x)&\tečky &A(x){\mathbf {y} }_{n}(x)\end{matrix}}\vpravo\ |=A(x)\Phi(x)$

nebo zavedením derivace matice jako matice derivací každého prvku

$\Phi '(x)=A(x)\Phi (x)$

Nechť je -tý řádek matice . Pak $\varphi _{i}(x)$ $i$ $\Phi (x)$

$\varphi _{i}'(x)=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x)\varphi _{j}(x)$

To druhé znamená, že derivace -tého řádku matice je lineární kombinací všech řádků této matice s koeficienty z -tého řádku matice . Uvažujme determinant matice, ve které je derivován -tý řádek. Determinant se nezmění, pokud se od tého řádku této matice odečte lineární kombinace všech ostatních řádků. $i$ $\Phi (x)$ $i$ $Sekera)$ $\Phi (x)$ $i$ $i$

$\left|{\begin{matrix}\varphi _{1}(x)\\\varphi _{2}(x)\\\vdots \\\varphi _{i}'(x)\\\vdots \ \\varphi _{n}(x)\\\end{matice}}\right|=\left|{\begin{matice}\varphi _{1}(x)\\\varphi _{2}(x )\\\vdots \\\součet _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}(x)\varphi _{j}(x)\\\vdots \\\varphi _{n }(x)\\\end{matice}}\right|=\left|{\begin{matice}\varphi _{1}(x)\\\varphi _{2}(x)\\\vdots \ \\součet _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}(x)\varphi _{j}(x)-\součet _{{j\neq i}}a_{{ij} }(x)\varphi _{j}(x)\\\vdots \\\varphi _{n}(x)\\\end{matice}}\right|=\left|{\begin{matrix}\ varphi _{1}(x)\\\varphi _{2}(x)\\\vdots \\a_{{ii}}(x)\varphi _{i}(x)\\\vdots \\\ varphi _{n}(x)\\\end{matrix}}\right|=a_{{ii}}(x)W(x)$

Pomocí vzorce pro derivování determinantu získáme

$W'(x)=a_{11}(x)W(x)+a_{22}(x)W(x)+\tečky +a_{nn}(x)W(x)=\název operátora {tr}A(x)W(x)$

Poslední obyčejná diferenciální rovnice má řešení

$W(x)=W(x_{0})e^{\int \limits _{x_{0}}^{x}\operatorname {tr} A(\zeta )d\zeta }$

Důkaz pro lineární diferenciální rovnici libovolného řádu

Lineární diferenciální rovnice -tého řádu $n$

$y^{(n)}(x)+P_{1}(x)y^{(n-1)}(x)+\tečky +P_{n-1}(x)y'(x )+P_{n}(x)y(x)=0$

je ekvivalentní následujícímu systému

${\begin{aligned}y_{{n-1}}'(x)&=-P_{1}(x)y_{{n-1}}(x)-\dots -P_{{n-1} }(x)y_{1}(x)-P_{n}(x)y_{0}(x)\\y_{{n-2}}'(x)&=y_{{n-1}} \\\vdots \\y_{{1}}'(x)&=y_{{2}}\\y_{{0}}'(x)&=y_{{1}}\\\end{zarovnáno }}$

s maticí následujícího tvaru $Sekera)$

$A(x)=\left({\begin{matrix}0&1&0&\tečky &0\\0&0&1&\tečky &0\\0&0&\dtečky &\dtečky &0\\0&0&\tečky &0&1\\-P_{n}(x)& -P_{{n-1}}(x)&\tečky &-P_{2}(x)&-P_{1}(x)\\\end{matrix}}\vpravo)$

Wronskiáni původní rovnice a systému se shodují a stopa matice je . Dosazením do vzorce pro soustavu získáme $Sekera)$ $-P_{1}(x)$

$W(x)=W(x_{0})e^{{-\int _{{x_{0}}}^{x}P_{1}(\zeta )d\zeta }}$

Aplikace Liouville-Ostrogradského vzorce

Nechť je známé řešení lineární obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu, t.j. Pomocí Liouville-Ostrogradského vzorce je možné najít řešení stejné soustavy, která je na ní lineárně nezávislá. $y_{1}(x)$ $n=2$ $y_{2}(x)$

Napišme Wronského:

$Ce^{-\int P_{1}(x)dx}=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}=W.$

${\frac {W}{y_{1}^{2}}}={\frac {y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}}{y_{1}^{2 }}}=\left({\frac {y_{2}}{y_{1}}}\right)',$ proto

${\frac {y_{2}}{y_{1}}}=\int {\frac {W}{y_{1}^{2}}}dx+B$ $\longrightarrow y_{2}=y_{1}\left(\int {\frac {W}{y_{1}^{2}}}dx+B\right)=y_{1}\int { \frac {Ce^{-\int P_{1}(x)dx}}{y_{1}^{2}}}dx+By_{1}$

Protože pro lineární nezávislost a to stačí , za předpokladu , že získáme $y_{1}(x)$ $y_{2}(x)$ $W\neq 0$ $C=1,\,B=0$ $y_{2}=y_{1}\int {\frac {e^{-\int P_{1}(x)dx}}{y_{1}^{2}}}dx.$

Příklad

Nechť je v rovnici známé konkrétní řešení . Pomocí Liouville-Ostrogradského vzorce dostaneme $y''-{\mathop {{\rm {{tg}}}}}x\,y'+2y=0$ $y_{1}=\sin x$

$y_{2}=\sin x\int {\frac {dx}{\sin ^{2}xe^{{-\int \tan xdx))))=\sin x\,\ln \left|\tan x+{\frac {1}{\cos x}}\right|\,-1.$

Potom obecné řešení homogenní rovnice $y=C_{1}\left(\sin x\,\ln \left|\tan x+{\frac {1}{\cos x}}\right|\,-1\right)+C_{2}\ hřích x$

Použitá literatura

Agafonov S. A., Němec A. D., Muratova T. V. Diferenciální rovnice. Učebnice pro střední školy. - M . : Vydavatelství MSTU im. Bauman , 1999. - 366 s. — (Matematika na technice; sv. VIII).
Romanko VK Kurz diferenciálních rovnic a variačního počtu. - 2. vyd. - M . : Laboratoř základních znalostí, 2001. - 344 s.