Vzorec monotonie

Vzorec monotonie je klasický teorém minimálního povrchu . Zejména uvádí, že plocha průsečíku minimální plochy bez ohraničení s koulí vycentrovanou na ploše nemůže být menší než plocha kruhu o stejném poloměru.

Formulace

Předpokládejme , že v euklidovském prostoru a . Označte minimální vzdáleností od hranice . $M$ $k$ $p\in M$ $R$ $p$ $M$

Pak funkce

{\displaystyle r\mapsto {\frac {\mathrm {S} (M\cap B_{r}(p))}{r^{m))))

roste monotónně v intervalu ; zde označuje -rozměrnou oblast a je koule poloměru se středem v . $[0,R]$ $\mathrm{S}$ $k$ $B_{r}(p)$ $r$ $p$

Důsledky

Pro , a jak je splněna nerovnost ve formulaci $M$ $p$ $R$ $\mathrm {S} (M\cap B_{r}(p))\geq \omega _{k}\cdot r^{m},$

v ; zde označuje objem jednotkové koule v -rozměrném euklidovském prostoru.

r\leq R

\omega_{k}

k

Navíc, jestliže je sebeprůsečík, pak $p$

\mathrm {S} (M\cap B_{r}(p))\geq 2\cdot \omega _{k}\cdot r^{m},

v .

r\leq R

Aplikace

Ecolm a White použili vzorec monotonie, aby dokázali, že minimální plocha překlenutá obrysem s variací rotace 4π nebo méně je vnořená.
Brende a Hung použili obecný vzorec monotónnosti k odhadu oblasti průsečíku minimálního povrchu s míčem, jehož střed je mimo povrch.

Literatura

S. Brandle, PK Hung. Hranice plochy pro minimální plochy, které procházejí předepsaným bodem v kouli // arXiv:1607.04631 [math.DG].

Ekholm T., White B., Wienholtz, D. Vnořenost minimálních ploch s celkovou hraniční křivostí nejvýše 4π // Ann . Matematika.. - 2002. - S. 209–234 .