Ljapunovova funkce

V teorii stability řešení diferenciálních rovnic je Ljapunovova funkce skalární funkce používaná ke studiu stability řešení obyčejné diferenciální rovnice nebo systému obyčejných diferenciálních rovnic pomocí druhé (přímé) Ljapunovovy metody.

Je pojmenována po ruském matematikovi a mechanikovi Alexandru Michajloviči Ljapunovovi (1857-1918), zakladateli moderní teorie stability [1] .

Popis

V obecných větách o stabilitě je existence Ljapunovovy funkce s určitými vlastnostmi postačující podmínkou stability (nestability) řešení pohybové rovnice. Věty jsou však vratné a pro mnoho tříd obyčejných diferenciálních rovnic je také nezbytnou podmínkou existence Ljapunovových funkcí.

Druhá Ljapunovova metoda nevyžaduje hledání řešení samotných diferenciálních rovnic, díky čemuž je možné studovat složité nelineární systémy . Najít vhodnou Ljapunovovu funkci však bylo vždy velmi obtížným úkolem. Existuje řada zkoumaných případů, pro které je kritérium stability teoreticky odvozeno pomocí obecných vět a Ljapunovových funkcí. Například stabilita v první aproximaci. Z tohoto důvodu je druhá Ljapunovova metoda metodou převážně teoretického zájmu, protože konstrukce pomocných funkcí vyžaduje od výzkumníka mimořádnou matematickou intuici. Tato metoda má však také důležitou praktickou hodnotu [2] .

Nicméně nejdůležitější výhodou metody Ljapunovovy funkce oproti všem ostatním přístupům k řešení různých problémů stability je její univerzálnost. Nyní je to jediná matematická metoda, kterou lze použít ke studiu stability dynamických systémů jakékoli nelineární formy a jakékoli dimenze .

Rovnice narušeného pohybu [3]

Pro studium stability jsou počáteční rovnice převedeny na rovnice narušeného pohybu.

Nechť je dán nějaký systém diferenciálních rovnic

{\frac {dy_{i}}{dt}}=Y_{i}(t,y_{1},y_{2},...,y_{n}),

$y_{i}=f_{i}(t)$ je speciálním řešením tohoto systému. Budeme to považovat za nerušené, zatímco ostatní pohyby budou narušené.

Pak, abychom mohli zkoumat stabilitu, je nutné sestavit rovnice narušeného pohybu.

Označme poruchu zvoleného pohybu. $x_{i}=y_{i}-f_{i}(t)$

Pak ${\frac {dx_{i}}{dt}}={\frac {dy_{i}}{dt}}-{\frac {df_{i}}{dt}}=Y_{i}( t,x_{1}+f_{1},x_{2}+f_{2},...,x_{n}+f_{n})-Y_{i}(t,f_{1},f_ {2},...,f_{n})=X_{i}(t,x_{1},x_{2},...,x_{n}).$

Každý pohyb původního systému bude odpovídat řešení nového systému. V tomto případě bude nerušené řešení odpovídat řešení , což je patrné z rovnic $x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=0.$ $X_{i}(t,0,0,...,0)=0.$

Definice Ljapunovovy funkce (pro autonomní systémy) [3]

Nechť je dán systém narušeného pohybu, který se skládá z obyčejných diferenciálních rovnic: $n$

{\frac {dx_{i}}{dt}}=X_{i}(x_{1},x_{2},...,x_{n})

i=1,2,3,...,n.

Navíc nechť je definován a spojitý v oblasti (kde nějaká kladná konstanta) a zmizí při nulových hodnotách proměnných. $X_{i}$ $|x_{i}|\leq H$ $H$

Ljapunovova funkce je funkcí proměnných , která nabývá skutečných hodnot a splňuje následující vlastnosti: $n$ $V(x_{1},x_{2},...,x_{n}),$

Funkce je jednoznačná;
$V(0,0,...,0)=0;$
Spojitý spolu s jeho parciálními derivacemi.

$V=V(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ se nazývá znaménko-definitivní (určitě kladné nebo definitivně záporné), pokud v oblasti nabývá hodnoty pouze jednoho znaménka a zaniká pouze v počátku. $|x_{i}|\leq h\leq H$

$V=V(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ se nazývá konstantní znaménko (kladné nebo záporné), pokud v oblasti nabývá hodnot pouze jednoho znaménka a zaniká nejen na počátku. $|x_{i}|\leq h\leq H$

$V=V(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ se nazývá znaménková proměnná, pokud nabývá různých hodnot.

Ljapunovovy věty pro autonomní systémy

Nechat

x^{*}=0

je bodem rovnováhy soustavy autonomních diferenciálních rovnic

{\tečka {x}}=f(x),

nech to být

{\dot {V}}(x)={\frac {\částečné V}{\částečné x}}\cdot {\frac {dx}{dt}}=\nabla V\cdot {\tečka {x}} =\nabla V\cdot f(x)

bude časovou derivací kandidáta na Ljapunovovu funkci $V.$

Stabilita bodu rovnováhy

Pokud je Ljapunovova kandidátská funkce lokálně pozitivní a časová derivace je lokálně nepozitivní: $PROTI$

{\dot {V}}(x)\leq 0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}\setminus \{0\}

v nějakém okolí bodu , pak je bod rovnováhy stabilní. ${\mathcal {B}}$ $0,$

Lokální asymptotická stabilita

Pokud je Ljapunovova kandidátská funkce lokálně kladná a časová derivace lokálně záporná: $PROTI$

{\dot {V}}(x)<0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}\setminus \{0\}

v nějakém okolí bodu , pak je bod rovnováhy lokálně asymptoticky stabilní. ${\mathcal {B}}$ $0,$

Globální asymptotická stabilita

Pokud je Ljapunovova kandidátská funkce globálně kladná, radiálně neomezená a časová derivace je globálně záporná: $PROTI$

{\dot {V}}(x)<0\quad \forall x\in {\mathbb {R}}^{n}\setminus \{0\},

pak je bod rovnováhy globálně asymptoticky stabilní.

Ljapunovova kandidátní funkce je radiálně neomezená, jestliže $V(x)$

\|x\|\do \infty \Šipka doprava V(x)\do \infty .

Příklad

Uvažujme následující diferenciální rovnici se zapnutým řešením x $\mathbb {R} :$

{\tečka x}=-x.

Vezmeme-li v úvahu, že funkce je kladná v jakémkoli okolí počátku bez nulového bodu, bude přirozeným kandidátem na Ljapunovovu funkci ke studiu chování . $x^{2}$ $X.$ ${\displaystyle V(x)=x^{2))$ $\mathbb {R} \setminus \{0\}.$

{\dot {V}}(x)=V'(x)f(x)=2x\cdot (-x)=-2x^{2}<0.

To ukazuje, že bod rovnováhy diferenciální rovnice je asymptoticky stabilní, a protože funkce je radiálně neohraničená, je bod rovnováhy globálně asymptoticky stabilní. ${\displaystyle V(x)=x^{2))$

Poznámky

↑ Ljapunov A. M. Obecný problém stability. - Moskva Leningrad: státní publikace technické a teoretické literatury, 1950.
↑ Rush N., Abets P., Lalua M. Přímá Ljapunovova metoda v teorii stability. - Moskva: Mir, 1980. - S. 7-8. — 300 s.
↑ 1 2 Malkin I. G. Teorie stability. - Moskva: Nauka, 1966. - 531 s.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Lyapunov Function (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
Khalil, H. K. Nelineární systémy. — Prentice Hall Upper Saddle River, NJ, 1996.
La Salle, Joseph. Stabilita Liapunovovou přímou metodou: S aplikacemi / Joseph La Salle, Solomon Lefschetz. - New York: Academic Press, 1961.

V bibliografických katalozích	BNF : 119777049 GND : 4274502-0 J9U : 987007565686405171 LCCN : sh85076428 LNB : 000308007