Funkce Heaviside

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 15. února 2021; kontroly vyžadují 8 úprav .

Heavisideova funkce ( jednotková kroková funkce , jednotková skoková funkce , zahrnutá jednotka , „krok“ ) je po částech konstantní funkce rovna nule pro záporné hodnoty argumentu a jedničce pro kladné [1] . V nule tato funkce obecně není definována, ale obvykle je v tomto bodě rozšířena o určité číslo tak, aby definiční obor funkce obsahoval všechny body reálné osy. Nejčastěji nezáleží na tom, jakou hodnotu má funkce nula, takže lze použít různé definice funkce Heaviside, vhodné pro ten či onen důvod , například:

\theta (x)={\begin{cases}0,&x<0;\\1,&x\geqslant 0.\end{cases}}

Funkce Heaviside se snadno píše pomocí držáku Iverson :

\theta (x)=[\,x\geqslant 0\,].

Heavisideova funkce je široce používána v matematickém aparátu teorie řízení a teorie zpracování signálů k reprezentaci signálů, které přecházejí z jednoho stavu do druhého v určitém časovém okamžiku. V matematické statistice se tato funkce používá například k zápisu empirické distribuční funkce . Pojmenováno po Oliveru Heavisideovi .

Heavisideova funkce je primitivní funkce pro Diracovu delta funkci , , kterou lze také zapsat jako (určitý integrál je číslo, neurčitý integrál [2] se používá k popisu primitivní funkce ): $\theta '=\delta$

\theta (x)=\int \limits _{{-\infty }}^{x}\!\delta (t)\,dt.

Diskrétní formulář

Diskrétní Heaviside funkci lze definovat jako funkci celočíselného argumentu : $n$

\theta [n]={\begin{cases}0,&n<0;\\1,&n\geqslant 0,\end{cases}}

kde je celé číslo . $n$

Diskrétní jednotkový impuls je prvním rozdílem diskrétní Heaviside funkce:

\delta[n]=\theta[n]-\theta[n-1].

Analytické formuláře

Pro pohodlnější použití lze funkci Heaviside aproximovat pomocí spojité funkce:

\theta (x)\cca {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {th}}\,kx={\frac {1}{1+e^ {{-2kx}}}},

kde větší odpovídá strmějšímu vzestupu funkce v bodě . Vzhledem k požadované šířce přechodové oblasti Heavisideovy funkce lze hodnotu odhadnout jako . $k$ $x=0$ $\Delta {x}$ $k$ $k\cca {\frac {10}{\Delta {x}}}$

Pokud přijmeme , rovnici lze napsat v omezujícím tvaru: $\theta(0)=1/2$

\theta (x)=\lim _{{k\to \infty }}{\frac {1}{2}}(1+{\mathrm {th}}\,kx)=\lim _{{k\ do \infty }}{\frac {1}{1+e^{{-2kx}}}}.

Existuje několik dalších aproximací spojitými funkcemi:

\theta (x)=\lim _{{k\to \infty }}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}{\mathrm {arctg}} \,kx\vpravo);

\theta (x)=\lim _{{k\to \infty }}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\,{\mathrm {erf} }\,kx\vpravo).

Záznam

Integrální forma funkce identity se často používá a je užitečná:

\theta (x)=-\lim _{{\varepsilon \to 0^{+}}}{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{{-\infty }}^{ \infty }{\frac {1}{\tau +i\varepsilon }}e^{{-ix\tau }}\,d\tau .

Nulová hodnota

Hodnota funkce na nule se často uvádí jako , nebo . - nejběžnější možnost, protože z důvodů symetrie v bodě nespojitosti prvního druhu je vhodné rozšířit funkci o aritmetický průměr odpovídajících jednostranných limit, navíc v tomto případě je Heavisideova funkce související s funkcí znamení : $\theta(0)=0$ $\theta(0)=1/2$ $\theta(0)=1$ $\theta(0)=1/2$

\theta (x)={\frac {1}{2}}(1+\jméno operátora{sgn} x)={\begin{cases}0,&x<0;\\{\dfrac {1}{2} },&x=0;\\1,&x>0.\end{cases}}

kterou lze s přihlédnutím k definici znakové funkce vyjádřit jako

\theta (x)={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {|x|}{x}}\right)={\frac {x+|x|}{ 2x}}

V záznamu funkce lze explicitně zadat hodnotu nula:

\theta _{n}(x)={\begin{cases}0,&x<0;\\n,&x=0;\\1,&x>0.\end{cases}}

Fourierova transformace

Derivace Heaviside funkce je rovna delta funkci (to znamená, že Heaviside funkce je primitivní funkcí delta funkce):

\theta (x)=\int \limits _{{-\infty }}^{x}\delta (t)\,dt

Aplikováním Fourierovy transformace na primitivní delta funkci tedy získáme její obraz ve tvaru: $\theta (t)$

{\frac {1}{2\pi i\omega }}+{\frac {1}{2}}\delta (\omega ),

to je:

\theta (t)=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}\left({\frac {1}{2\pi i\omega }}+{\frac {1 }{2}}\delta (\omega )\right)e^{{i\omega t}}\,d\omega

(druhý člen - odpovídající nulové frekvenci v expanzi - popisuje konstantní posun Heavisideovy funkce směrem nahoru; bez něj by byla získána lichá funkce ).

Historie

Tato funkce byla používána ještě předtím, než se objevil její vhodný zápis. Například Guglielmo Libri ve 30. letech 19. století publikoval několik článků [3] [4] o funkci . Podle jeho názoru se rovná if ; if (viz Nula na mocninu nuly ); nebo jestli . Libri tedy dochází k závěru, že se rovná 1, pokud , a 0 v opačném případě. Pomocí Iversonovy notace by to mohlo být zapsáno jako $0^{0^{x))$ $0^{x}$ $0$ $x>0$ $jeden$ $x=0$ $\infin$ $x<0$ $0^{0^{x))$ $x>0$

0^{0^{x}}=[\,x>0\,].

V té době však takový zápis neexistoval a Libri považovalo za úspěch, že lze tuto funkci vyjádřit standardními matematickými operacemi. Tuto funkci použil k vyjádření absolutní hodnoty (tehdy neexistovalo žádné označení , zavedl ji později Weierstrass ) a indikátor podmínek jako , a dokonce " je dělitel " [5] . $|x|$ $a\leq x\leq b$ $X$ $y$

Viz také

Poznámky

↑
V teorii automatického řízení a teorii Laplaceových operátorů je často označován jako . V anglické literatuře, nebo je často označován . Viz např. $\scriptstyle {\eta (x)}$ $\scriptstyle {H(x)}$ $\scriptstyle {1(x)}$
- Volkov I.K., Kanatnikov A.N. Integrální transformace a operační počet: Proc. pro vysoké školy / Ed. př. n. l. Zarubina, A. P. Kriščenko. - 2. vyd. - M . : Vydavatelství MSTU im. N. E. Bauman, 2002. - 228 s. — (Matematika na Technické univerzitě; číslo XI). — ISBN 5-7038-1273-9 . ;
- Metody klasické a moderní teorie automatického řízení: Učebnice v 5 dílech; 2. vyd., revidováno. a doplňkové Svazek 1: Matematické modely, dynamické charakteristiky a analýza systémů automatického řízení / Ed. K. A. Pupková, N. D. Egupová. - M .: Vydavatelství MSTU im. N. E. Bauman, 2004. - 656 s. - ISBN 5-7038-2189-4 (sv. 1).
↑ Zorich V.A. Matematická analýza. Část I .. - M.: MTSNMO, 2012. - S. 358.
↑ Guillaume Libri . Note sur les valeurs de la fontction 0 0 x , Journal für die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67-72.
↑ Guillaume Libri . Mémoire sur les fonctions končí, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303-316.
↑ Donald E. Knuth, Dvě poznámky k notaci, Amer. Matematika. Měsíčně 99 ne. 5 (květen 1992), 403-422 ( arXiv: math/9205211 [math.HO] Archivováno 20. listopadu 2018 na Wayback Machine ).