Distribuční funkce (statistická fyzika)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 28. května 2019; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Statistická distribuční funkce (distribuční funkce ve statistické fyzice) je hustota pravděpodobnosti ve fázovém prostoru . Jeden ze základních pojmů statistické fyziky . Znalost distribuční funkce zcela určuje pravděpodobnostní vlastnosti uvažovaného systému.

Mechanický stav každého systému je jednoznačně určen souřadnicemi a hybností jeho částic ( i=1,2,…, d ; d je počet stupňů volnosti systému). Množina veličin a tvoří fázový prostor . $q_{i}$ ${\displaystyle p_{i))$ ${\displaystyle q\equiv \left\{q_{i}\right\))$ ${\displaystyle p\equiv \left\{p_{i}\right\))$

Kompletní funkce statistického rozdělení

Pravděpodobnost nalezení systému v prvku fázového prostoru s bodem (q, p) uvnitř je dána vzorcem: ${\displaystyle \mathrm {d} q\,\mathrm {d} p\equiv \prod \limits _{i}\mathrm {d} q_{i}\,\mathrm {d} p_{i))$

\mathrm {d} \omega =\rho \!\left(t,q,p\right)\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p\qquad (1)

Funkce se nazývá úplná statistická distribuční funkce (nebo jednoduše distribuční funkce). Ve skutečnosti představuje hustotu reprezentujících bodů ve fázovém prostoru. Funkce splňuje podmínku normalizace : $\rho \!\left(t,q,p\right)$ $\rho \!\left(t,q,p\right)$

\int {\rho \!\left(t,q,p\right)\,\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p}=1,\qquad (2)

a integrál přebírá celý fázový prostor. V případě odpovídajícím mechanice je systém v určitém mikroskopickém stavu, to znamená, že dal a , a pak ${q}^{(0)}\equiv \left\{{q_{i}}^{(0)}\right\}$ ${p}^{(0)}\equiv \left\{{p_{i}}^{(0)}\right\}$

\rho \!\left(q,p\right)=\delta \!\left(qq^{(0)}\right)\,\delta \!\left(pp^{(0)} \že jo),

kde (δ je Diracova funkce ). Kromě pravděpodobností různých mikroskopických stavů samotných vám funkce umožňuje najít průměrnou statistickou hodnotu libovolné fyzikální veličiny - funkce fázových proměnných q a p : $\delta \!\left(qq^{(0)}\right)\delta \!\left(pp^{(0)}\right)\equiv \prod \limits _{i}\delta \ !\left(q_{i}-{q_{i}}^{(0)}\right)\delta \!\left(p_{i}-{p_{i}}^{(0)}\right )$ $\rho \!\left(t,q,p\right)$ $F\!\left(t,q,p\right)$

\left\langle {\hat {F}}\right\rangle =\int ({\hat {F}}\,{\hat {\rho }}\,\mathrm {d} q\,\ mathrm {d}p},

kde „cap“ znamená závislost na fázových proměnných a závorka je statistické průměrování.

Rozdělme systém na malé, ale makroskopické podsystémy. Lze tvrdit, že takové subsystémy jsou statisticky nezávislé díky své slabé interakci s prostředím (interakce s prostředím se účastní pouze částice blízké hranici subsystému, v případě makroskopického subsystému je jejich počet ve srovnání s celkový počet jeho částic). Statistická nezávislost subsystémů vede k následujícímu výsledku pro distribuční funkci

\rho \!\left(t,q,p\right)=\prod \limits _{n}\rho ^{(n)}\!\!\left(t,q^{(n) },p^{(n)}\right)\qquad(3)

Index n odkazuje na n-tý subsystém. Každou z funkcí lze považovat za normalizovanou v souladu s podmínkou (2). V tomto případě se funkce také automaticky normalizuje . Pojem statistické nezávislosti je přibližný. Rovnost (3) je zase přibližná: nebere v úvahu korelace částic patřících do různých subsystémů. Je však významné, že za běžných fyzikálních podmínek korelace rychle slábnou, když se částice (nebo skupiny částic) od sebe vzdalují. Systém má charakteristický parametr, korelační poloměr , mimo nějž se částice chovají statisticky nezávisle. V subsystémech makroskopických rozměrů leží naprostá většina částic jednoho subsystému mimo poloměr korelací od částic druhého a vzhledem k těmto částicím platí rovnost (3). $\rho ^{(n)}\!\left(t,q^{(n)},p^{(n)}\right)$ $\rho$

Matematicky se nastavení celkové distribuční funkce rovná nastavení nekonečného počtu nezávislých veličin - jejích hodnot na kontinuu bodů ve fázovém prostoru kolosální dimenze 2d (pro makroskopické systémy d ~ kde je Avogadro číslo ). $\rho \!\left(t,q,p\right)$ $N_A$ $N_A$

Neúplný popis

V realističtějším případě neúplného měření jsou známé pravděpodobnosti hodnot nebo dokonce průměrné hodnoty pouze některých fyzikálních veličin . Jejich počet je obvykle mnohem menší než rozměr fázového prostoru systému. Funkce rozdělení pravděpodobnosti hodnot je dána rovností ${\klobouk {A}}\equiv \left\{{\klobouk {A}}_{m}\right\}$ $\rho \!\left(A\right)$ $A$

\rho \!\left(A\right)=\int {\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p\,\delta \!\left(A-{\hat {A)) \right)\rho \!\left(q,p\right)},

kde . Distribuční funkci lze nazvat neúplnou. Je zřejmé, že umožňuje najít pravděpodobnosti hodnot pouze fyzikálních veličin , jejichž závislost na fázových proměnných je realizována prostřednictvím . Pro stejné hodnoty vám umožňuje najít průměrné hodnoty: $\delta \!\left(A-{\hat {A}}\right)\equiv \prod \limits _{m}\delta \!\left(A_{m}-{\hat {A} }_{m}\right)$ $\rho \!\left(A\right)$ ${\hat {f}}\equiv f\!\left({\hat {A}}\right)$ ${\klobouk {A}}$

\left\langle {\hat {f}}\right\rangle =\int {\mathrm {d} A\,f\!\left(A\right)\,\rho \!\left(A \že jo)},

kde a integrace se provádí přes všechny možné hodnoty . Průměrné hodnoty veličin lze samozřejmě zjistit pomocí funkce celkového rozdělení , pokud by byla známa. Pro funkci , stejně jako pro funkci plného rozdělení platí podmínka normalizace: ${\displaystyle \mathrm {d} A\equiv \prod \limits _{m}\mathrm {d} A_{m))$ $A$ $\left\langle {\klobouk {f}}\right\rangle$ ${\hat {f))$ $\rho \!\left(t,q,p\right)$ $\rho \!\left(A\right)$

\int {\mathrm {d} A\,\rho \!\left(A\right)}=1

Popis systému pomocí funkce se nazývá neúplný popis. Konkrétními příklady jsou popis pomocí distribuční funkce souřadnic a hybností jednotlivých částic systému nebo popis pomocí průměrných hodnot hmotností , hybnosti a energií jednotlivých subsystémů celého systému. $\rho \!\left(A\right)$

Časový vývoj distribuční funkce

Časový vývoj distribuční funkce se řídí Liouvilleovou rovnicí :

{\frac {\partial {\hat {\rho ))\!\left(t\right)}{\partial t))+i\,L_{t}\,{\hat {\rho } }\!\left(t\right)=0,\qquad(4)

kde je Liouvilleův operátor působící v prostoru fázových funkcí: ${\displaystyle L_{t))$

L_{t}\,\cdot \equiv -i\left\({\hat {H))_{t},\cdot \right\}\equiv -i\sum \limits _{j}\ vlevo({\frac {\partial {\hat {H}}_{t}}{\partial p_{j}}}{\frac {\partial }{\partial q_{j}}}-{\frac { \partial {\hat {H}}_{t}}{\partial q_{j}}}{\frac {\partial }{\partial p_{j}}}\right)

${\hat {H}}_{t}$ je Hamiltonova funkce systému. V případě, že Liouvilleův operátor nezávisí na čase ( ), má řešení rovnice (4) tvar $L_{t}=L$

{\hat {\rho }}\!\left(t\right)=e^{-itL}{\hat {\rho }}\!\left(0\right)\qquad (5)

Chcete-li použít (5) ke skutečné konstrukci řešení, musíte znát vlastní funkce a vlastní hodnoty operátoru . ${\displaystyle {\hat {\psi }}^{(n)))$ $L^{(n)}$ $L$

Pomocí úplnosti a ortonormality píšeme: ${\displaystyle {\hat {\psi }}^{(n)))$

{\displaystyle {\hat {\rho }}\!\left(0\right)=\sum \limits _{n}c_{n}{\hat {\psi }}^{(n)))

kde ( předpokládá se, že spektrum je diskrétní). V důsledku toho dostáváme $c_{n}=\left({\klobouk {\psi }}^{(n)},{\klobouk {\rho }}\!\left(0\right)\right)$

{\displaystyle {\hat {\rho }}\!\left(t\right)=\sum \limits _{n}e^{-i\cdot t\cdot L^{(n)))c_{n }\,{\hat {\psi }}^{(n)))

Viz také

Částečná distribuční funkce

Literatura

Gibbs J. V. "Basic Principles of Statistical Mechanics" - M. - L., 1946. // Přetištěno: Publishing House "Regular and Chaotic Dynamics", 2002. - 204 s. ISBN 5-93972-127-3 .
Balescu R. Rovnovážná a nerovnovážná statistická mechanika. Ve dvou svazcích. — M.: Mir, 1978.
Berezin F. A. Přednášky o statistické fyzice. - Moskva - Iževsk: Institut. počítačový výzkum, 2002. - 192s. (2. vyd., Rev. Nakladatelství: MTSNMO, 2008. - 200 s. ISBN 978-5-94057-352-4 )
Bogolyubov NN Problémy dynamické teorie ve statistické fyzice. — M. — L.: OGIZ. Gostekhizdat , 1946.
Bogolyubov NN Vybrané práce ze statistické fyziky . - M .: Nakladatelství Moskevské státní univerzity, 1979.
Bogolyubov N. N. Sborník vědeckých prací. Ve 12 svazcích. Svazek 5: Nerovnovážná statistická mechanika, 1939-1980. — M.: Nauka, 2006. ISBN 5020341428 .
Vlasov AA Nelokální statistická mechanika . — M.: Nauka, 1978.
Zubarev D. N. , Morozov V. G., Repke G. Statistická mechanika nerovnovážných procesů. Svazek 1. - M .: Fizmatlit , 2002. - 432 s. ISBN 5-9221-0211-7 , ISBN 5-9221-0210-9 .
Prigogine I. Nerovnovážná statistická mechanika . - Vydavatelství: Editorial URSS, 2005. - 312 s. ISBN 5-354-01004-7
Khinchin A. Ya. Matematické základy statistické mechaniky. - Nakladatelství: Regular and Chaotic Dynamics, 2003. - 128s. ISBN 5-93972-273-3
Ruel D. Statistická mechanika. Přísné výsledky . — M.: Mir, 1971. — 368. léta.
Krylov NS Práce na zdůvodnění statistické fyziky . - M.-L.: Z Akademie věd SSSR, 1950.
Kubo R. Statistická mechanika. — M.: Mir, 1967.
Landau L. D. , Lifshitz E. M. Statistická fyzika. Část 1. - (" Teoretická fyzika ", svazek V).
Terletsky Ya. P. Statistická fyzika. (2. vyd.). - M .: Vyšší škola, 1973.
Uhlenbeck J. , Ford J. Přednášky o statistické mechanice. — M.: Mir, 1965.]
Huang K. Statistická mechanika . — M.: Mir, 1966.

Slovníky a encyklopedie	Velký Rus Britannica (online)