Objektivní funkce

Objektivní funkce  je skutečná nebo celočíselná funkce několika proměnných, která je předmětem optimalizace ( minimalizace nebo maximalizace ) za účelem vyřešení nějakého optimalizačního problému. Termín se používá v matematickém programování, operačním výzkumu , lineárním programování , statistické teorii rozhodování a dalších oblastech matematiky, především aplikovaného charakteru, i když cílem optimalizace může být i řešení samotného matematického problému [1] . Kromě objektivní funkce mohou v optimalizační úloze proměnné podléhat omezením v podobě systému rovností nebo nerovnic. V obecném případě mohou být argumenty objektivní funkce specifikovány na libovolných množinách.

Příklady

Hladké funkce a soustavy rovnic

Problém řešení libovolné soustavy rovnic

lze formulovat jako problém minimalizace účelové funkce

Pokud jsou funkce hladké, pak lze problém minimalizace vyřešit gradientními metodami .

Pro jakoukoli hladkou účelovou funkci se lze rovnat parciálním derivacím s ohledem na všechny proměnné. Optimální účelová funkce bude jedním z řešení takové soustavy rovnic. V případě funkce se bude jednat o soustavu rovnic nejmenších čtverců (LSM) . Jakékoli řešení původního systému je řešením systému nejmenších čtverců. Pokud je původní systém nekonzistentní, pak systém LSM, který má vždy řešení, umožňuje získat přibližné řešení původního systému. Počet rovnic systému LSM se shoduje s počtem neznámých, což někdy usnadňuje řešení společných počátečních systémů.

Lineární programování

Dalším známým příkladem účelové funkce je lineární funkce, která se vyskytuje v úlohách lineárního programování. Na rozdíl od kvadratické účelové funkce je optimalizace lineární funkce možná pouze tehdy, pokud existují omezení v podobě systému lineárních rovností nebo nerovnic.

Kombinatorická optimalizace

Typickým příkladem kombinatorické objektivní funkce je objektivní funkce problému obchodního cestujícího . Tato funkce se rovná délce hamiltonovského cyklu na grafu . Je dán na množině permutací vrcholů grafu [2] a je určen maticí délky hrany grafu. Přesné řešení takových problémů často závisí na výčtu možností.

Poznámky

  1. ↑ Cílová funkce, matematické programování // Mathematical Encyclopedic Dictionary. - M .: "Sovy. encyklopedie“ , 1988.
  2. ↑ Taková permutace jedna ku jedné definuje hamiltonovský cyklus pro asymetrickou matici délek hran grafu.

Viz také

Literatura