Limit částečné sekvence

Částečná limita posloupnosti je limita jedné z jejích podposloupností , pokud existuje. U konvergentních číselných posloupností se parciální limita shoduje s obvyklou limitou kvůli její jedinečnosti, ale v nejobecnějším případě může mít libovolná posloupnost od nuly do nekonečného počtu různých parciálních limit. Navíc, jestliže obvyklá limita charakterizuje bod, ke kterému se prvky posloupnosti blíží s rostoucím počtem, pak dílčí limity charakterizují body, v jejichž blízkosti je prvků posloupnosti nekonečně mnoho.

Dva důležité speciální případy částečného limitu jsou horní a dolní limity.

Definice

Částečná limita posloupnosti je limita libovolné její podposloupnosti , pokud existuje alespoň jedna podposloupnost, která má limitu. Jinak se říká, že posloupnost nemá žádné dílčí limity. V některé literatuře se v případech, kdy je možné vybrat nekonečně velkou podposloupnost z posloupnosti, jejíž všechny prvky jsou současně kladné nebo záporné, nazývá její částečná limita, resp . $+\infty$ $-\infty$

Dolní mez posloupnosti je nejmenší infimum z množiny dílčích mezí posloupnosti.

Horní mez posloupnosti je nejmenší horní mez množiny dílčích mezí posloupnosti.

Někdy je spodní mez posloupnosti nejmenší z jejích mezních bodů a horní mez je největší. [1] Tyto definice jsou ekvivalentní, protože přesná strana množiny limitních bodů do této množiny nutně patří.

Notace

Spodní limit sekvence : $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$

$\varliminf _{{n\to \infty }}x_{n}$ (v domácí literatuře);

$\liminf _{{n\to \infty }}x_{n}$ (v zahraniční literatuře).

Horní limit sekvence : $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$

$\varlimsup _{{n\to \infty }}x_{n}$ (v domácí literatuře);

$\limsup _{{n\to \infty }}x_{n}$ (v zahraniční literatuře).

Příklady

$\varliminf _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=\varlimsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=\lim _{n \to \infty }{\frac {1}{n}}=0$

$\varliminf _{{n\to \infty }}\left(-1\right)^{n}=-1$

$\varlimsup _{{n\to \infty }}\left(-1\right)^{n}=+1$

$\nexistuje \varliminf _{{n\to \infty }}n,\nexistuje \varlimsup _{{n\to \infty }}n$ (jinou terminologií jsou obě meze stejné ) $+\infty$

Vlastnosti

Částečná limita posloupnosti může být pouze jejím limitním bodem a naopak jakýkoli limitní bod posloupnosti je některou její částečnou limitou. Jinými slovy, pojmy „částečná limita posloupnosti“ a „mezní bod posloupnosti“ jsou ekvivalentní [a] .
Jakákoli omezená posloupnost má horní i dolní limity (v množině reálných čísel ). Pokud vezmeme v úvahu i přípustné hodnoty dílčí meze, pak horní a dolní meze obecně existují pro jakoukoli číselnou posloupnost. $-\infty$ $+\infty$
Číselná posloupnost konverguje tehdy a jen tehdy, když . $\{x_n\}$ $A$ $\varliminf _{{n\rightarrow \infty }}{x_{{n}}}=\varlimsup _{{n\rightarrow \infty }}{x_{{n}}}=a$
Pro jakékoli kladné číslo vzaté předem leží všechny prvky omezené číselné posloupnosti , počínaje nějakým číslem v závislosti na , uvnitř intervalu . $\varepsilon$ $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$ $\varepsilon$ $\left(\varliminf _{{n\to \infty }}x_{n}-\varepsilon ,\varlimsup _{{n\to \infty }}x_{n}+\varepsilon \right)$
Leží- li mimo interval pouze konečný počet prvků omezené číselné posloupnosti , pak je interval v intervalu obsažen . $\left(a,b\right)$ $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$ $\left(\varliminf _{{n\to \infty }}x_{n},\varlimsup _{{n\to \infty }}x_{n}\right)$ $\left(a,b\right)$
Soubor dílčích limitů je uzavřen.

Poznámky

Komentáře

↑ Je třeba si uvědomit, že prvek, který se v posloupnosti vyskytuje nekonečněkrát, je limitním bodem této posloupnosti (na rozdíl od limitního bodu množiny).

Zdroje

↑ V. A. Iljin , V. A. Sadovničij , Bl. H. Sendov . Kapitola 3. Teorie limit // Matematická analýza / Ed. A. N. Tichonova . - 3. vyd. , revidováno a doplňkové - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 92 - 105. - 672 s. — ISBN 5-482-00445-7 .