Čtyřpólový

Čtyřpól je elektrický obvod, druh vícepólu se čtyřmi přípojnými body [1] . Zpravidla dva body jsou vstup, další dva výstup.

Obecné informace

Při analýze elektrických obvodů je velmi často vhodné izolovat část obvodu, která má dva páry svorek. Vzhledem k tomu, že elektrické (elektronické) obvody jsou velmi často spojeny s přenosem energie nebo zpracováním a transformací informací, jeden pár svorek se obvykle nazývá "vstup" a druhý - "výstup". Původní signál je přiveden na vstupní svorky, převedený signál je odebírán z výstupních svorek.

Takovými čtyřsvorkovými sítěmi jsou například transformátory, zesilovače, filtry, stabilizátory napětí, telefonní linky, elektrické vedení atd.

Matematická teorie čtyřpólů však neimplikuje žádné předem určené toky energie/informací v obvodech, proto jsou názvy „vstup“ a „výstup“ poctou tradici a budou s touto výhradou používány i nadále.

Stavy vstupních a výstupních svorek určují čtyři parametry: napětí a proud ve vstupních ( U 1 , I 1 ) a výstupních ( U 2 , I 2 ) obvodech. V tomto systému parametrů je lineární čtyřterminální síť popsána systémem dvou lineárních rovnic, přičemž dva ze čtyř stavových parametrů jsou počáteční a další dva jsou určeny. U nelineárních čtyřpólů může být závislost složitější. Například výstupní parametry mohou být systémem vyjádřeny jako vstupní parametry

{\begin{cases}U_{2}=b_{11}U_{1}+b_{12}I_{1}\\I_{2}=b_{21}U_{1}+b_{22}I_{ 1}\\\end{cases));~~~{\begin{pmatrix}U_{2}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12 }\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{1}\end{pmatrix}}

V budoucnu bude jako nejvhodnější pro vnímání používán systém rovnic v maticovém tvaru.

Systémy parametrů

Lineární čtyřsvorková síť, která neobsahuje nezávislé zdroje ( napětí a / nebo proud ) je popsána čtyřmi parametry - dvěma napětími a dvěma proudy. Jakékoli dvě ze čtyř veličin lze určit z hlediska zbývajících dvou. Protože počet kombinací je 2 ze 4 - 6, používá se jeden ze šesti systémů pro záznam formálních parametrů kvadripólu [2] :

A - forma U1 = AU2 + BI2 ; I 1 =CU 2 +DI 2 , kde A, B, C, D jsou A-parametry, zobecněné [3] nebo komplexní [4] parametry.
tvar Y I 1 = Y11U1 + Y12U2 ; _ _ I 2 \u003d Y 21 U 1 + Y 22 U 2 , kde Y 11 , Y 12 , Y 21 , Y 22 jsou parametry Y nebo parametry vodivosti [5] .
Z - forma Ui \ u003d Z11I1 + Z12I2 ; _ U 2 \u003d Z 21 I 1 + Z 22 I 2 , kde Z11, Z 12 , Z 21 , Z 22 - Z-parametry, případně odporové parametry [5] .
H - forma U1 = hnIi + h12U2 ; _ _ I 2 \u003d h 21 I 1 + h 22 U 2 , kde h 11 , h 12 , h 21 , h 22 jsou h-parametry, které se používají při uvažování obvodů s tranzistory [3] .
G-tvar I 1 = G 11U 1 + G 12I 2 ; U 2 \u003d G 21 U 1 + G 22 I 2 , kde G je parametr, který se používá při zvažování elektronkových obvodů.
B - forma U2 \ u003d B11U1 + B12I1 ; _ I 2 \u003d B 21 U 1 + B 22 I 1

Konkrétní systém je zvolen z důvodu pohodlí. Volba závisí na tom, který parametr (napětí nebo proud) je vstupní a který výstupní signál pro danou čtyřsvorkovou síť.

V těchto systémech formálních parametrů nelze brát v úvahu libovolné vnitřní zdroje (například stejnosměrný proud), jsou povoleny pouze řízené generátory proudu a generátory řízeného napětí , které jsou řízeny vstupními signály čtyřsvorkové sítě. Proto se jako čtyřpólové obvody zpravidla uvažují ekvivalentní obvody střídavého proudu.

Soustavy rovnic a ekvivalentní obvody čtyřkoncových sítí využívající každý typ parametrů jsou uvedeny v tabulce.

Soustavy rovnic, náhradní obvody, měření parametrů

Typ	Systém rovnic	Měření parametrů
$G$	${\begin{pmatrix}I_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{ pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}$	$g_{11}=\left.{\frac {I_{1}}{U_{1}}}\right\|_{I_{2}=0}\quad g_{12}=\left.{101} \frac {I_{1}}{I_{2}}}\right\|_{U_{1}=0}$ $g_{21}=\left.{\frac {U_{2}}{U_{1}}}\right\|_{I_{2}=0}\quad g_{22}=\left.{101} \frac {U_{2}}{I_{2}}}\right\|_{U_{1}=0}$
$H$	${\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{ pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}$	$h_{11}=\left.{\frac {U_{1}}{I_{1}}}\right\|_{U_{2}=0}\quad h_{12}=\left.{101} \frac {U_{1}}{U_{2}}}\right\|_{I_{1}=0}$ $h_{21}=\left.{\frac {I_{2}}{I_{1}}}\right\|_{U_{2}=0}\quad h_{22}=\left.{101} \frac {I_{2}}{U_{2}}}\right\|_{I_{1}=0}$
$Y$	${\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{11}&y_{12}\\y_{21}&y_{22}\end{ pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}$	$y_{11}=\left.{\frac {I_{1}}{U_{1}}}\right\|_{U_{2}=0}\quad y_{12}=\left.{101} \frac {I_{1}}{U_{2}}}\right\|_{U_{1}=0}$ $y_{21}=\left.{\frac {I_{2}}{U_{1}}}\right\|_{U_{2}=0}\quad y_{22}=\left.{101} \frac {I_{2}}{U_{2}}}\right\|_{U_{1}=0}$
$Z$	${\begin{pmatrix}U_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{ pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}$	$z_{11}=\left.{\frac {U_{1}}{I_{1}}}\right\|_{I_{2}=0}\quad z_{12}=\left.{101} \frac {U_{1}}{I_{2}}}\right\|_{I_{1}=0}$ $z_{21}=\left.{\frac {U_{2}}{I_{1}}}\right\|_{I_{2}=0}\quad z_{22}=\left.{101} \frac {U_{2}}{I_{2}}}\right\|_{I_{1}=0}$
$A$	${\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{ pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{2}\\I_{2}\end{pmatrix}}$	$a_{11}=\left.{\frac {U_{1}}{U_{2}}}\right\|_{I_{2}=0}\quad a_{12}=\left.{101} \frac {U_{1}}{I_{2}}}\right\|_{U_{2}=0}$ $a_{21}=\left.{\frac {I_{1}}{U_{2}}}\right\|_{I_{2}=0}\quad a_{22}=\left.{101} \frac {I_{1}}{I_{2}}}\right\|_{U_{2}=0}$
$B$	${\begin{pmatrix}U_{2}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{ pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{1}\end{pmatrix}}$	$b_{11}=\left.{\frac {U_{2}}{U_{1}}}\right\|_{I_{1}=0}\quad b_{12}=\left.{101} \frac {U_{2}}{I_{1}}}\right\|_{U_{1}=0}$ $b_{21}=\left.{\frac {I_{2}}{U_{1}}}\right\|_{I_{1}=0}\quad b_{22}=\left.{101} \frac {I_{2}}{I_{1}}}\right\|_{U_{1}=0}$

Konverze parametrů

Princip transformace

Jako příklad si převedeme h-parametry kvadripólu na y-parametry. Chcete-li to provést, musíte provést následující transformaci systému rovnic:

{\begin{cases}U_{1}=h_{11}I_{1}+h_{12}U_{2}\\I_{2}=h_{21}I_{1}+h_{22}U_{ 2}\end{cases}}\to ~~~{\begin{cases}I_{1}=y_{11}U_{1}+y_{12}U_{2}\\I_{2}=y_{ 21}U_{1}+y_{22}U_{2}\end{cases}}.

Z první rovnice původní soustavy vyjádříme I 1 :

{\begin{cases}I_{1}={\frac {1}{h_{11}}}U_{1}-{\frac {h_{12}}{h_{11}}}U_{2}\ \I_{2}=h_{21}I_{1}+h_{22}U_{2}\end{cases}}.

Dosaďte první rovnici druhou:

{\begin{cases}I_{1}={\frac {1}{h_{11}}}U_{1}-{\frac {h_{12}}{h_{11}}}U_{2}\ \I_{2}=h_{21}\left({\frac {1}{h_{11}}}U_{1}-{\frac {h_{12}}{h_{11}}}U_{2 }\right)+h_{22}U_{2}\end{cases}}.

Pojďme transformovat druhou rovnici:

I_{2}={\frac {h_{21}}{h_{11}}}U_{1}+\left(h_{22}-{\frac {h_{12}h_{21}}{h_{ 11}}}\right)U_{2}={\frac {h_{21}}{h_{11}}}U_{1}+{\frac {h_{11}h_{22}-h_{12} h_{21}}{h_{11}}}U_{2}={\frac {h_{21}}{h_{11}}}U_{1}+{\frac {\Delta _{h}}{ h_{11}}}U_{2},

kde $\Delta _{h}=h_{11}h_{22}-h_{12}h_{21}.$

Dostaneme soustavu rovnic

{\begin{cases}I_{1}={\frac {1}{h_{11}}}U_{1}-{\frac {h_{12}}{h_{11}}}U_{2}\ \I_{2}={\frac {h_{21}}{h_{11}}}U_{1}+{\frac {\Delta _{h}}{h_{11}}}U_{2}\ end{cases}}.

Porovnáním s cílovým systémem získáme výrazy pro koeficienty:

y_{11}={\frac {1}{h_{11}}};~~~y_{12}=-{\frac {h_{12}}{h_{11}}};~~~y_{ 21}={\frac {h_{21}}{h_{11}}};~~~y_{22}={\frac {\Delta _{h}}{h_{11}}};

Determinant nového systému se najde jednoduchou substitucí:

\Delta _{y}=y_{11}y_{22}-y_{12}y_{21}={\frac {1}{h_{11}}}{\frac {\Delta _{h}}{ h_{11}}}+{\frac {h_{12}}{h_{11}}}{\frac {h_{21}}{h_{11}}}={\frac {h_{11}h_{ 22}-h_{12}h_{21}+h_{12}h_{21}}{h_{11}^{2}}}={\frac {h_{22}}{h_{11}}}.

	$H$	$Y$	$Z$	$G$	$A$
$H$		$h_{11}=1/y_{11}$ ${\displaystyle h_{12}=-y_{12}/y_{11))$ ${\displaystyle h_{21}=y_{21}/y_{11))$ ${\displaystyle h_{22}=\Delta _{y}/y_{11))$ ${\displaystyle \Delta _{h}=y_{22}/y_{11))$	${\displaystyle h_{11}=\Delta _{z}/z_{22))$ ${\displaystyle h_{12}=z_{12}/z_{22))$ ${\displaystyle h_{21}=-z_{21}/z_{22))$ $h_{22}=1/z_{22}$ ${\displaystyle \Delta _{h}=z_{11}/z_{22))$	${\displaystyle h_{11}=g_{22}/\Delta _{g))$ ${\displaystyle h_{12}=-g_{12}/\Delta _{g))$ ${\displaystyle h_{21}=-g_{21}/\Delta _{g))$ ${\displaystyle h_{22}=g_{11}/\Delta _{g))$ ${\displaystyle \Delta _{h}=1/\Delta _{g))$	$h_{11}=B/D$ $h_{12}=\Delta _{A}/D$ $h_{21}=-1/D$ $h_{22}=C/D$
$Y$	$y_{11}=1/h_{11}$ ${\displaystyle y_{12}=-h_{12}/h_{11))$ ${\displaystyle y_{21}=h_{21}/h_{11))$ ${\displaystyle y_{22}=\Delta _{h}/h_{11))$ ${\displaystyle \Delta _{y}=h_{22}/h_{11))$		${\displaystyle y_{11}=z_{22}/\Delta _{z))$ ${\displaystyle y_{12}=-z_{12}/\Delta _{z))$ ${\displaystyle y_{21}=-z_{21}/\Delta _{z))$ ${\displaystyle y_{22}=z_{11}/\Delta _{z))$ ${\displaystyle \Delta _{y}=1/\Delta _{z))$	${\displaystyle y_{11}=\Delta _{g}/g_{22))$ ${\displaystyle y_{12}=g_{12}/g_{22))$ ${\displaystyle y_{21}=-g_{21}/g_{22))$ $y_{22}=1/g_{22}$ ${\displaystyle \Delta _{y}=g_{11}/g_{22))$	$y_{11}=D/B$ $y_{12}=-\Delta _{A}/B$ $y_{21}=-1/B$ $y_{22}=A/B$
$Z$	$z_{11}=\Delta _{h}/h_{22}$ ${\displaystyle z_{12}=h_{12}/h_{22))$ ${\displaystyle z_{21}=-h_{21}/h_{22))$ $z_{22}=1/h_{22}$ ${\displaystyle \Delta _{z}=h_{11}/h_{22))$	${\displaystyle z_{11}=y_{22}/\Delta _{y))$ ${\displaystyle z_{12}=-y_{12}/\Delta _{y))$ ${\displaystyle z_{21}=-y_{21}/\Delta _{y))$ ${\displaystyle z_{22}=y_{11}/\Delta _{y))$ $\Delta _{z}=1/\Delta _{y}$		$z_{11}=1/g_{11}$ ${\displaystyle z_{12}=-g_{12}/g_{11))$ ${\displaystyle z_{21}=g_{21}/g_{11))$ ${\displaystyle z_{22}=\Delta _{g}/g_{11))$ ${\displaystyle \Delta _{z}=g_{22}/g_{11))$	$z_{11}=A/C$ $z_{12}=\Delta _{A}/C$ $z_{21}=1/C$ $z_{22}=D/C$
$G$	$g_{11}=h_{22}/\Delta _{h}$ $g_{12}=-h_{12}/\Delta _{h}$ $g_{21}=-h_{21}/\Delta _{h}$ $g_{22}=h_{11}/\Delta _{h}$ $\Delta _{g}=1/\Delta _{h}$	$g_{11}=\Delta _{y}/y_{22}$ $g_{12}=y_{12}/y_{22}$ ${\displaystyle g_{21}=-y_{21}/y_{22))$ $g_{22}=1/y_{22}$ $\Delta _{g}=y_{11}/y_{22}$	$g_{11}=1/z_{11}$ ${\displaystyle g_{12}=-z_{12}/z_{11))$ ${\displaystyle g_{21}=z_{21}/z_{11))$ ${\displaystyle g_{22}=\Delta _{z}/z_{11))$ ${\displaystyle \Delta _{g}=z_{22}/z_{11))$		$g_{11}=C/A$ $g_{12}=-\Delta _{A}/A$ $g_{21}=\Delta _{A}/A$ $g_{22}=B/A$
$A$	$A=-\Delta _{h}/h_{21}$ $B=-h_{11}/h_{21}$ $C=-h_{{22}}/h_{{21}}$ $D=-1/h_{{21}}$	$A=-y_{{22}}/y_{{21}}$ $B=-1/y_{{21}}$ $C=-\Delta _{y}/y_{21}$ $D=-y_{{11}}/y_{{21}}$	$A=z_{{11}}/z_{{21}}$ $B=\Delta _{z}/z_{21}$ $C=1/z_{{21}}$ $D=z_{{22}}/z_{{21}}$	$A=1/g_{{21}}$ $B=g_{{22}}/g_{{21}}$ $C=g_{{11}}/g_{{21}}$ $D=\Delta _{g}/g_{21}$

Převody schémat

R in , R out - vstupní a výstupní odpory; K I , K U jsou proudové a napěťové zisky .

$R_{in}={\frac {U_{1}}{I_{1}}};\qquad R_{out}={\frac {U_{2}}{I_{2}}};\ qquad K_{I}={\frac {I_{2}}{I_{1}}};\qquad K_{U}={\frac {U_{2}}{U_{1}}}.$

Systém	$H$	$Y$	$Z$	$G$
	$R_{in}={\frac {h_{11}+\Delta _{h}R}{1+h_{22}R))$ $R_{out}={\frac {h_{11}+r}{\Delta _{h}+h_{22}r))$ $K_{I}={\frac {h_{21}}{1+h_{22}R}}$ $K_{U}={\frac {-h_{21}R}{h_{11}+\Delta _{h}R}}$	$R_{in}={\frac {1+y_{22}R}{y_{11}+\Delta _{y}R}}$ $R_{out}={\frac {1+y_{11}r}{y_{22}+\Delta _{y}r))$ $K_{I}={\frac {y_{21}}{y_{11}+\Delta _{y}R}}$ $K_{U}={\frac {-y_{21}R}{1+y_{22}R))$	$R_{in}={\frac {\Delta _{z}+z_{11}R}{z_{22}+R))$ $R_{out}={\frac {\Delta _{z}+z_{22}r}{z_{22}+r))$ $K_{I}={\frac {-z_{21}}{z_{22}+R}}$ $K_{U}={\frac {z_{21}R}{-\Delta _{z}+z_{11}R}}$	$R_{in}={\frac {g_{22}+R}{\Delta _{g}+g_{11}R))$ $R_{out}={\frac {g_{22}+\Delta _{g}r}{1+g_{11}r))$ $K_{I}={\frac {-g_{21}}{\Delta _{g}+g_{11}R}}$ $K_{U}={\frac {g_{21}R}{g_{22}+R))$

Princip výpočtu parametrů obvodu

Jako příklad najdeme vstupní/výstupní odpor a proudové a napěťové zisky pro čtyřsvorkovou síť popsanou pomocí h-parametrů.

Vstupní impedance

R_{in}={\frac {U_{1}}{I_{1}}};

Systém popisuje nezatíženou síť se čtyřmi terminály

{\begin{cases}U_{1}=h_{11}I_{1}+h_{12}U_{2}\\I_{2}=h_{21}I_{1}+h_{22}U_{ 2}\end{cases}}.

Při připojení zátěže

U_{2}=-I_{2}R.

Transformujeme soustavu rovnic

{\begin{cases}U_{1}=h_{11}I_{1}-h_{12}I_{2}R\\I_{2}=h_{21}I_{1}-h_{22}I_ {2}R\end{cases}};\qquad {\begin{cases}I_{2}h_{12}R=h_{11}I_{1}-U_{1}\\I_{2}(1 +h_{22}R)=h_{21}I_{1}\end{cases}};

(h_{11}I_{1}-U_{1})(1+h_{22}R)=h_{12}h_{21}I_{1}R;

h_{11}I_{1}(1+h_{22}R)-U_{1}(1+h_{22}R)=h_{12}h_{21}I_{1}R;

U_{1}(1+h_{22}R)=I_{1}[h_{11}(1+h_{22}R)-h_{12}h_{21}R];

U_{1}(1+h_{22}R)=I_{1}(h_{11}+h_{11}h_{22}R-h_{12}h_{21}R);

U_{1}(1+h_{22}R)=I_{1}(h_{11}+\Delta _{h}R);

R_{in}={\frac {U_{1}}{I_{1}}}={\frac {h_{11}+\Delta _{h}R}{1+h_{22}R }}.

Odrůdy čtyřpólů

Symetrická čtyřsvorková síť je čtyřsvorková síť, ve které je obvod stejný, pokud jde o její vstupní a výstupní svorky. Pak pro symetrický čtyřpól Z11 = Z22. Také: pokud se při záměně zdroje a přijímače energie jejich proudy nemění, pak se taková čtyřsvorková síť nazývá symetrická.

Pasivní kvadripól je kvadripól, který neobsahuje zdroje energie nebo obsahuje kompenzované zdroje energie.

Aktivní čtyřpól je čtyřpól, který obsahuje nekompenzované zdroje energie.

Reverzibilní čtyřsvorková síť je čtyřsvorková síť, která splňuje větu o reverzibilitě, to znamená, že přenosový odpor vstupního a výstupního obvodu nezávisí na tom, která dvojice svorek je vstupem a která výstupem: U1/I2 =U2/I1

Speciální případy čtyřpólů

Ideální transformátor

Ideální transformátor je pasivní čtyřsvorková síť, která formálně popisuje model transformátoru bez zohlednění proudu naprázdno a feromagnetického jádra . Matematicky je to určeno systémem rovnic, který vypadá jako v H-formě (nebo v odpovídající matici):

{\begin{cases}U_{1}=h_{12}U_{2}\\I_{2}=h_{21}I_{1}\\\end{cases));{\begin{pmatrix}U_ {1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&h_{12}\\h_{21}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{1}\ \U_{2}\end{pmatrix}}

Gyrator

Gyrátor je pasivní bezztrátový čtyřsvorkový obvod, který převádí vstupní proud na výstupní napětí a vstupní napětí na inverzní (invertovaný) výstupní proud (kladný odporový invertor [6] ). Matematicky je to popsáno systémem, který vypadá jako tvar Y (nebo jeho odpovídající matice:

{\begin{cases}I_{1}=y_{12}U_{2}\\I_{2}=-y_{21}U_{1}\\\end{cases));{\begin{pmatrix} I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&y_{12}\\-y_{21}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1 }\\U_{2}\end{pmatrix}}

Že. Gyrátor neabsorbuje ani neakumuluje energii a převádí komplexní zátěžový odpor na odpor s opačným znaménkem a modulem rovným obrácenému poměru:

Z_{out}={\frac {1}{-Z_{in}y_{21}^{2}}}

Nullor

Nullor je čtyřportová síť, anomální prvek, ve kterém se vstupní proud a napětí rovnají nule a výstupní proud a napětí nabývají hodnot, které spolu nesouvisí [7] . Anomální prvky se používají v řadě případů při analýze a syntéze elektrických obvodů.

Viz také

bipolární

Poznámky

↑ Bakalov, 1989 , s. 171.
↑ Bessonov, 1978 , str. 109.
↑ 1 2 Bakalov, 1989 , s. 175.
↑ Bessonov, 1996 , str. 137.
↑ 1 2 Bakalov, 1989 , s. 174.
↑ Bessonov, 1996 , str. 149.
↑ Kisel, 1986 , str. 68.

Literatura

Bessonov L.A. Teoretické základy elektrotechniky. - M . : Vyšší škola, 1978. - 528 s.
Bessonov L.A. Teoretické základy elektrotechniky. - M . : Vyšší škola, 1996. - 638 s.
Kisel V.A. Analogové a digitální korektory. - M . : Rozhlas a komunikace, 1986. - 184 s.
Bakalov V.P. Základy teorie elektrických obvodů a elektroniky. - M . : Rozhlas a komunikace, 1989. - 528 s. - ISBN 5-256-00265-1 .