Pampeliškové kuličky

Koule pampelišky jsou koule účastnící se geometrické konstrukce, která spojuje planimetrickou definici elipsy , hyperboly a paraboly prostřednictvím ohnisek s jejich stereometrickou definicí jako úsek kužele . Navrhl Dandelin v roce 1822 .

Popis

Uvažujme kruhový kužel proříznutý rovinou, která neprochází středem kužele. Uvažujme dvě koule dotýkající se povrchu kužele podél kružnic a dotýkající se roviny sečny v bodech a . Takové koule se nazývají Pampelišky . V případě, že řezem kužele je elipsa nebo hyperbola, jsou takové koule dvě a v případě paraboly pouze jedna. $C$ $C'$ $F$ $F'$

Pokud existují dvě koule, pak v případě elipsy jsou obě umístěny ve stejném kuželu, jedna je nad rovinou řezu, druhá je pod ní; v případě hyperboly je jedna koule umístěna v daném kuželu, druhá - v kuželu symetrickém k danému vzhledem k vrcholu, obě jsou nad rovinou řezu (nebo na stejné straně roviny řezu jako osa kužele, pokud je rovina řezu rovnoběžná s osou kužele, ale neobsahuje ji). Pro parabolu je jedna koule umístěna ve stejném kuželu nad rovinou řezu.

Z úvah o symetrii je zřejmé, že středy kuliček leží na ose kužele. Pampelišky konstruujeme v případě elipsy, v případě paraboly a hyperboly je konstrukce v mnoha ohledech podobná. Spustíme kolmici z vrcholu kužele na rovinu řezu a nakreslíme přímku přes její základnu a průsečík osy kužele a roviny řezu. Horním průsečíkem této přímky a povrchu kužele nakreslíme sečnu úhlu mezi touto přímkou a tvořící přímkou kužele procházející tímto bodem. Přes stejný bod nakreslíme druhou osu - úhel sousedící se zadanou. Tyto dvě osy budou protínat osu kužele ve středech dvou kuliček Dandelin. Zbývá nakreslit dvě koule se středy v těchto dvou bodech a poloměrem rovným vzdálenosti od středu k tvořící přímce.

Aplikace na krájení

Pokud vezmeme libovolný bod na přímce průsečíku kužele a roviny a nakreslíme jím tvořící čáru kužele, která se protíná s kružnicemi a v bodech a , pak když se bod pohne , body a se budou pohybovat podél kruhy a se zachováním vzdálenosti . $P$ $E$ $C$ $C'$ $Q$ $Q'$ $P$ $Q$ $Q'$ $C$ $C'$ $QQ'$

Vzhledem k tomu , a jsou segmenty dvou tečen ke kouli z jednoho bodu , Potom a podobně, . $PQ$ $PF$ $P$ $PQ=PF$ $PQ'=PF'$

Tedy body na průsečíku

mít konstantní součet , což znamená, že množina možných bodů je elipsa a body a jsou její ohniska. $PF+PF'=PQ+PQ'=QQ'$ $P$ $F$ $F'$
nebo mít konstantní rozdíl , což znamená, že množina možných bodů je hyperbola a body a jsou její ohniska. $PF-PF'=PQ-PQ'=QQ'$ $P$ $F$ $F'$

Rovina protíná roviny, ve kterých leží kružnice a podél přímek, které jsou přímkami kuželosečky [ 1] :46,47 . Vlastnost directrix je taková, že pro všechny body ležící na přímce průsečíku kužele a roviny je poměr vzdáleností od bodu k přímce a k odpovídajícímu ohnisku stejný. Opravdu, ať leží na přímce průsečíku, - rovině kružnice . Nechť roviny a protínají v přímce , - kolmé od do , - kolmé od do . Je snadné vidět , kde je úhel mezi rovinami a . , kde je úhel mezi osou kužele a jeho tvořící přímkou. Vynásobením těchto dvou poměrů dostaneme , že , tedy hodnotu, která nezávisí na volbě bodu . Reciproční z toho se nazývá excentricita kuželosečky . (Jinému ohnisku odpovídá další přímka tvořená průsečíkem roviny sečny a roviny kružnice .) V případě, kdy je rovina sečny rovnoběžná s nějakou tvořící přímkou, , odkud , to je . To odpovídá standardní definici paraboly jako místa bodů stejně vzdálených od daného bodu (focus) a přímky (directrix). $E$ $C$ $C'$ $E$ $P$ $C$ $C$ $C$ $E$ $l$ $PH$ $P$ $l$ $PK$ $P$ $C$ ${\frac {PH}{PK}}=\sin \alpha$ $\alpha$ $C$ $E$ ${\frac {PK}{PF}}={\frac {PK}{PQ}}={\frac {1}{\cos \varphi }}$ $\varphi$ ${\frac {PH}{PF}}={\frac {\sin \alpha }{\cos \varphi }}$ $P$ ${\frac {PF}{PH}}$ $C'$ $\alpha =90^{\circ }-\varphi$ ${\frac {PF}{PH}}={\frac {\cos \varphi }{\sin \alpha }}=1$ $PF=PH$

Poznámky

↑ Pogorelov A. V. Geometrie. — M .: Nauka , 1983. — 288 s.

Literatura

Dandelin G. Mémoire sur l'hyperboloïde de révolution, et sur les hexagones de Pascal et de M. Brianchon // Nouveaux mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles, T. III., 1826 (str. 3 -16).
Shal M. O metodě konstruování triků a dokazování jejich vlastností na šikmém kuželu // Historický přehled vzniku a vývoje geometrických metod . - M. , 1883.
Hilbert D., Cohn-Vossen S. Kapitola 1 // Vizuální geometrie. - 3. ruština. vyd. — M .: Nauka, 1981.
Akopyan A. V., Zaslavsky A. A. Geometrické vlastnosti křivek druhého řádu . — M .: MTSNMO , 2007. — 136 s.

Delaunay B. N., Raikov D. A. Volume 2 // Analytical Geometry. — M., L.: Gostekhizdat , 1949. — 516 s.
Veselov A.P., Troitsky E.V. Přednášky o analytické geometrii . - Petrohrad. : Lan, 2003. - 160 s.
Protasov V. Yu Maxima a minima v geometrii . — M. : MTsNMO. — 56 str. - (Knihovna "Matematická výchova", číslo 31).
F. Nilov. Dandelin spheres on YouTube Přednáška na Maly Mekhmat Moskevské státní univerzity, 2011

Odkazy

Wikimedia Commons má média související s plesy Dandelin

Kuželosečky
Hlavní typy	Elipsa Hyperbola Parabola
Degenerovat	Tečka Rovný Dvojice rovných čar
Zvláštní případ elipsy	Kruh
Geometrické konstrukce	kuželosečka Pampeliškové kuličky Steinerův design
viz také	Kuželová konstanta
Matematika • Geometrie