Elementární maticové transformace |
---|
Elementární maticové transformace jsou takové maticové transformace , které zachovávají ekvivalenci matic. Elementární transformace tedy nemění množinu řešení soustavy lineárních algebraických rovnic , kterou tato matice představuje.
Elementární transformace se používají v Gaussově metodě k redukci matice na trojúhelníkovou nebo stupňovitou formu .
Transformace elementárních řetězců se nazývají:
V některých kurzech lineární algebry se permutace řádků matice nerozlišuje jako samostatná elementární transformace kvůli skutečnosti , že permutaci libovolných dvou řádků matice lze získat vynásobením libovolného řádku matice konstantou a přidáním k libovolnému řádku matice další řádek vynásobený konstantou , .
Elementární transformace sloupců jsou definovány podobně .
Elementární transformace jsou reverzibilní .
Označení udává, že matici lze získat elementárními transformacemi (nebo naopak).
Věta (o hodnostní invarianci při elementárních transformacích). Pokud , tak . |
Věta (o ekvivalenci soustav rovnic při elementárních transformacích). Soustava lineárních algebraických rovnic získaných elementárními transformacemi nad původní soustavou je jí ekvivalentní. |
Věta (o nalezení inverzní matice). Nechť je determinant matice nenulový, matice nechť je definována výrazem . Potom s elementární transformací řádků matice na matici identity v kompozici proběhne transformace na současně . |
Zobrazit článek: Stupňovité zobrazení po řádcích
Představme si koncept krokových matic: Matice má stupňovitý tvar , pokud:Věta (o redukci matic na stupňovitý tvar). Jakoukoli matici pomocí elementárních transformací pouze přes řádky lze zredukovat na stupňovitou formu. |
Elementární matice. Matice A je elementární, pokud jí násobení libovolné matice B vede k elementárním řádkovým transformacím v matici B.