Elementární maticové transformace

Elementární maticové transformace

Elementární maticové transformace jsou takové maticové transformace , které zachovávají ekvivalenci matic. Elementární transformace tedy nemění množinu řešení soustavy lineárních algebraických rovnic , kterou tato matice představuje.

Elementární transformace se používají v Gaussově metodě k redukci matice na trojúhelníkovou nebo stupňovitou formu .

Definice

Transformace elementárních řetězců se nazývají:

permutace libovolných dvou řádků matice;
násobení libovolného řádku matice konstantou ,, zatímco determinant matice se zvětší o k krát; $k$ $k\neq 0$
přidání do libovolného řádku matice jiného řádku, vynásobené nějakou konstantou.

V některých kurzech lineární algebry se permutace řádků matice nerozlišuje jako samostatná elementární transformace kvůli skutečnosti , že permutaci libovolných dvou řádků matice lze získat vynásobením libovolného řádku matice konstantou a přidáním k libovolnému řádku matice další řádek vynásobený konstantou , . $k$ $k\neq 0$ $k$ $k\neq 0$

Elementární transformace sloupců jsou definovány podobně .

Elementární transformace jsou reverzibilní .

Označení udává, že matici lze získat elementárními transformacemi (nebo naopak). $A\sim B$ $A$ $B$

Vlastnosti

Invariance pořadí podle elementárních transformací

Věta (o hodnostní invarianci při elementárních transformacích).
Pokud , tak .

A\sim B

\mathrm {rang} A=\mathrm {rang} B

Ekvivalence SLAE při elementárních transformacích

Nazvěme elementární transformace nad soustavou lineárních algebraických rovnic :

permutace rovnic;
násobení rovnice nenulovou konstantou;
sčítání jedné rovnice do druhé, vynásobené nějakou konstantou.

Tedy elementární transformace nad jeho rozšířenou maticí. Potom platí následující tvrzení:

Věta (o ekvivalenci soustav rovnic při elementárních transformacích).
Soustava lineárních algebraických rovnic získaných elementárními transformacemi nad původní soustavou je jí ekvivalentní.

Připomeňme, že dva systémy jsou považovány za ekvivalentní, pokud jsou jejich sady řešení stejné.

Hledání inverzních matic

Věta (o nalezení inverzní matice).
Nechť je determinant matice nenulový, matice nechť je definována výrazem . Potom s elementární transformací řádků matice na matici identity v kompozici proběhne transformace na současně .

A_{{n\times n}}

B

{\displaystyle B=[A|E]_{n\times 2n))

A

E

B

E

A^{{-1}}

Redukce matic na stupňovitý tvar

Zobrazit článek: Stupňovité zobrazení po řádcích

Představme si koncept krokových matic: Matice má stupňovitý tvar , pokud:

A

Všechny nulové řádky matice jsou poslední; $A$
Pro libovolný nenulový řádek matice (pro definitivnost nechť je jeho číslo ) platí: if je prvním nenulovým prvkem řádku , pak . $A$ $k$ ${\displaystyle a_{kj))$ $k$ $\forall i,l:\;i>k,\;l\leq j\quad a_{il}=0$

Potom platí následující tvrzení:

Věta (o redukci matic na stupňovitý tvar).
Jakoukoli matici pomocí elementárních transformací pouze přes řádky lze zredukovat na stupňovitou formu.

Související definice

Elementární matice. Matice A je elementární, pokud jí násobení libovolné matice B vede k elementárním řádkovým transformacím v matici B.

Literatura

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Lineární algebra: Učebnice pro střední školy . - 6. vyd., vymazáno. - M. : FIZMATLIT, 2004. - 280 s.