Ergodicita

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 13. listopadu 2020; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Ergodicita je speciální vlastností některých dynamických systémů , spočívající v tom, že v procesu evoluce téměř každý stav s určitou pravděpodobností přechází do blízkosti jakéhokoli jiného stavu systému.

U ergodických systémů se matematické očekávání pro časové řady musí shodovat s matematickým očekáváním pro prostorové řady. To znamená, že pro stanovení parametrů systému lze dlouhodobě pozorovat chování jednoho z jeho prvků, nebo je možné ve velmi krátkém čase uvažovat všechny jeho prvky (nebo poměrně hodně prvků). Pokud má systém vlastnost ergodicity, pak v obou případech budou získány stejné výsledky.

Výhodou ergodických dynamických systémů je, že při dostatečné době pozorování lze takové systémy popsat statistickými metodami. Například teplota plynu je mírou průměrné energie molekuly. Nejprve musíme prokázat ergodičnost tohoto systému.

Ergodická teorie je jednou z větví obecné dynamiky.

Definice

Nechť je pravděpodobnostní prostor a je mapování zachovávající míru. $(X,\;\Sigma ,\;\mu \,)$ $T:X\to X$

Mapování T je ergodické s ohledem na to, zda je splněna následující podmínka: $\mu$

pro jakoukoli T -invariantní podmnožinu (tj. takovou, že ) buď , nebo . $E\in \Sigma$ $T^{-1}(E)=E$ $\mu (E)=0$ $\mu (E)=1$

Poznámky

Definice je ekvivalentní následujícím podmínkám,

Pro jakoukoli podmnožinu kladné míry máme $E\in \Sigma$ $\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }T^{-n}E\right)=1$ ;
Pro libovolné dvě množiny E a H kladné míry existuje n > 0 takových, že *: ; $\mu ((T^{-n}E)\cap H)>0$
Jakákoli T -invariantní měřitelná funkce je téměř všude konstantní. $f:X\to \mathbb {R}$

Viz také

Literatura

V. I. Arnold , A. Avets . Ergodické problémy v klasické mechanice . - Moskva-Iževsk: RHD, 1999.
I. P. Kornfeld, Ya. G. Sinai , S. V. Fomin Ergodická teorie. — M.: Nauka, 1980.
Katok A. B. , Hasselblat B. Úvod do moderní teorie dynamických systémů / přel. z angličtiny. A. Kononěnko za účasti S. Ferlegera. - M. : Factorial, 1999. - 768 s. — ISBN 5-88688-042-9 .
Katok A. B. , Hasselblat B. Úvod do moderní teorie dynamických systémů s přehledem posledních úspěchů / Per. z angličtiny. vyd. A. S. Gorodetsky. — M .: MTSNMO , 2005. — 464 s. — ISBN 5-94057-063-1 .
Khinchin A. Ya. Matematické základy statistické mechaniky , M.-L., 1943.
Nemytsky V. V. , Stepanov V. V. Kvalitativní teorie diferenciálních rovnic , 2. vyd., M. - L., 1949.
Halmos P. Přednášky o ergodické teorii: per. z angličtiny. - M., 1959.
GD Birkhoff , Proof of the ergodic teorem, (1931), Proč Natl Acad Sci USA, 17 str. 656-660.
J. von Neumann , Důkaz kvaziergodické hypotézy, (1932), Proč Natl Acad Sci USA, 18 str. 70-82.
J. von Neumann , Physical Applications of the Ergodic Hypothesis, (1932), Proč Natl Acad Sci USA, 18 str. 263-266.

Odkazy

Ergodic theory // Velká sovětská encyklopedie : [ve 30 svazcích] / kap. vyd. A. M. Prochorov . - 3. vyd. - M .: Sovětská encyklopedie, 1969-1978.