Hermitovská interpolace

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 20. února 2016; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Hermitovská interpolace je polynomiální interpolační metoda , pojmenovaná po francouzském matematikovi Charlesi Hermiteovi . Hermitovy polynomy jsou úzce spjaty s Newtonovými polynomy.

Na rozdíl od Newtonovy interpolace konstruuje Hermitova interpolace polynom, jehož hodnoty ve zvolených bodech jsou stejné jako hodnoty původní funkce v těchto bodech a všechny derivace polynomu do určitého řádu m v daných bodech jsou stejné jako hodnoty derivací funkce. To znamená, že n ( m + 1) hodnot

{\begin{matrix}(x_{0},y_{0}),&(x_{1},y_{1}),&\ldots ,&(x_{n-1},y_{n -1}),\\(x_{0},y_{0}'),&(x_{1},y_{1}'),&\ldots ,&(x_{n-1},y_{n -1}'),\\\vtečky &\vtečky &&\vtečky \\(x_{0},y_{0}^{(m)}),&(x_{1},y_{1}^{( m)}),&\ldots ,&(x_{n-1},y_{n-1}^{(m)})\end{matrix}}

musí být známy, zatímco newtonovská interpolace potřebuje pouze prvních n hodnot. Výsledný polynom může mít stupeň maximálně n ( m + 1) − 1, přičemž maximální stupeň Newtonova polynomu je roven n − 1. (V obecném případě nemusí být m pevné, tzn. v některých bodech hodnota více derivací než v jiných, v takovém případě bude mít polynom stupeň N − 1, kde N je počet známých hodnot.)

Použití

Jednoduchý případ

Při použití dělených rozdílů k výpočtu Hermitova polynomu je prvním krokem zkopírování každého bodu mkrát . (Zde uvažujeme jednoduchý případ, kdy pro všechny body .) Proto, když je dán bod , hodnota a funkce f , kterou chceme interpolovat. Pojďme definovat novou datovou sadu $m=1$ $n+1$ ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n))$ $f(x_{0}),f(x_{1}),\ldots ,f(x_{n})$ $f'(x_{0}),f'(x_{1}),\ldots ,f'(x_{n})$

{\displaystyle z_{0},z_{1},\ldots ,z_{2n+1))

takové, že

{\displaystyle z_{2i}=z_{2i+1}=x_{i))

Nyní definujme tabulku rozdělení bodů pro body . Nicméně, pro některé rozdělené rozdíly ${\displaystyle z_{0},z_{1},\ldots ,z_{2n+1))$

z_{i}=z_{i+1}\implies f[z_{i},z_{i+1}]={\frac {f(z_{i+1})-f(z_{i })}{z_{i+1}-z_{i}}}={\frac {0}{0}}

co je nejistota! V tomto případě nahradíme tento dělený rozdíl hodnotou a ostatní dopočítáme obvyklým způsobem. $f'(z_{i})$

Obecný případ

V obecném případě předpokládáme, že v těchto bodech jsou známy derivace funkce f až do řádu k včetně. Pak datová sada obsahuje k kopií . Při vytváření tabulky rozdělení rozdílů pro , budou vypočítány stejné hodnoty jako $x_{i}$ ${\displaystyle z_{0},z_{1},\ldots ,z_{N))$ $x_{i}$ $j=2,3,\ldots ,k$

{\frac {f^{(j)}(x_{i})}{j!)}}

Například,

f[x_{i},x_{i},x_{i}]={\frac {f''(x_{i})}{2))

f[x_{i},x_{i},x_{i},x_{i}]={\frac {f^{(3)}(x_{i})}{6))

a tak dále.

Příklad

Uvažujme o funkci . Výpočtem hodnot funkce a jejích prvních dvou derivací v bodech získáme následující data: $f(x)=x^{8}+1$ ${\displaystyle x\in \{-1,0,1\))$

X	ƒ ( x )	ƒ '( x )	ƒ ''( x )
−1	2	−8	56
0	jeden	0	0
jeden	2	osm	56

Protože pracujeme se dvěma derivacemi, sestavíme množinu . Tabulka rozdělení rozdílů pak vypadá takto: ${\displaystyle \{z_{i}\}=\{-1,-1,-1,0,0,0,1,1,1\))$

{\begin{matrix}z_{0}=-1&f[z_{0}]=2&&&&&&&\\&&{\frac {f'(z_{0})}{1))=-8&&&&&&&\\z_ {1}=-1&f[z_{1}]=2&&{\frac {f''(z_{1})}{2}}=28&&&&&&\\&&{\frac {f'(z_{1})} {1}}=-8&&f[z_{3},z_{2},z_{1},z_{0}]=-21&&&&&\\z_{2}=-1&f[z_{2}]=2&&f[z_ {3},z_{2},z_{1}]=7&&15&&&&\\&&f[z_{3},z_{2}]=-1&&f[z_{4},z_{3},z_{2},z_ {1}]=-6&&-10&&&\\z_{3}=0&f[z_{3}]=1&&f[z_{4},z_{3},z_{2}]=1&&5&&4&&\\&&{\frac { f'(z_{3})}{1}}=0&&f[z_{5},z_{4},z_{3},z_{2}]=-1&&-2&&-1&\\z_{4}= 0&f[z_{4}]=1&&{\frac {f''(z_{4})}{2}}=0&&1&&2&&1\\&&{\frac {f'(z_{4})}{1}}= 0&&f[z_{6},z_{5},z_{4},z_{3}]=1&&2&&1&\\z_{5}=0&f[z_{5}]=1&&f[z_{6},z_{5} ,z_{4}]=1&&5&&4&&\\&&f[z_{6},z_{5}]=1&&f[z_{7},z_{6},z_{5},z_{4}]=6&&10&&&\\z_ {6}=1&f[z_{6}]=2&&f[z_{7},z_{6},z_{5}]=7&&15&&&&\\&&{\frac {f'(z_{7})}{1} }=8&&f[z_{8},z_{7},z_{6},z_{5}]=21&&&&&\\z_{7}=1&f[z_{7}]=2&&{\frac {f''( z_{7})}{2}}=28&&&&&&\&&{\frac {f'(z_{8})}{1}}=8&&&&&&\\z_{8}=1&f[z_{8}]=2&&&&&&&& \\\end{matrix}}

a získat polynom

{\begin{aligned}P(x)&=2-8(x+1)+28(x+1)^{2}-21(x+1)^{3}+15x(x+ 1 )^{3}-10x^{2}(x+1)^{3}\\&\quad {}+4x^{3}(x+1)^{3}-1x^{3}( x +1)^{3}(x-1)+x^{3}(x+1)^{3}(x-1)^{2}\\&=2-8+28-21-8x + 56x-63x+15x+28x^{2}-63x^{2}+45x^{2}-10x^{2}-21x^{3}\\&\quad {}+45x^{3}- 30x ^{3}+4x^{3}+x^{3}+x^{3}+15x^{4}-30x^{4}+12x^{4}+2x^{4}+x^ { 4}\\&\quad {}-10x^{5}+12x^{5}-2x^{5}+4x^{5}-2x^{5}-2x^{5}-x^{ 6 }+x^{6}-x^{7}+x^{7}+x^{8}\\&=x^{8}+1.\end{aligned}}

vzít koeficienty úhlopříčky tabulky dělených rozdílů a vynásobit koeficient číslem k , jako při získávání Newtonova polynomu. $\prod _{i=0}^{k-1}(x-z_{i})$

Chyba hermitovské interpolace

Nazvěme nalezený polynom H a původní funkci f . Pro body je chybová funkce definována jako $x\in [x_{0},x_{n}]$

f(x)-H(x)={\frac {f^{(K)}(c)}{K!}}\prod _{i}(x-x_{i})^{k_ {i}}

kde c je neznámé z rozsahu , K je celkový počet daných hodnot plus jedna a je počet derivací známých v každém bodě plus jedna. $[x_{0},x_{N}]$ $k_i$ $x_{i}$

Viz také

Newtonovy interpolační vzorce