Jacksonovo jádro

V teorii aproximace je Jacksonovo jádro -periodická funkce daná vzorcem: $2\pi$

$d_{n}(t)=\gamma _{n}\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}} }}\vpravo)^{4}$

Pojmenováno po vědci, který pracoval na teorii aproximací a trigonometrických polynomů - Dunham Jackson .

Tato funkce je kernel , konvoluce se kterou dává částečný součet Fourierovy řady .

Jackson kernel konstantní

Konstanta je určena ze vztahu a je rovna $\gamma_n$ $\int \limits _{\mathbb {T} }{d_{n}(t)dt}=1,\mathbb {T} =[-\pi ;\pi ]$ $\gamma _{n}={\frac {3}{2\pi n(2n^{2}+1)))$

Důkaz

Pro případ prostoru L 2 použijeme Parsevalovu rovnost :

Pokud , pak je pravdivá následující identita: ${\displaystyle f\in \mathbb {L} _{2))$ $\int \limits _{Q}{f^{2}}=\pi \left({\frac {a_{0}^{2}}{2}}+\sum \limits _{n= 0}^{\infty }{\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)}\right)$

Do této rovnosti je nutné dosadit $f=\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}\right)^{2}$

Nejprve musíte napsat výraz pro použití jádra Fejér a jádra Dirichlet : $\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}\right)^{2}$

$\Phi _{n-1}(t)={\frac {1}{2\pi n}}\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\ sin {\frac {t}{2}}}\right)^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{D_{ k}(t)}=$
$={\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{{\frac {1}{\pi }}\left({\frac {1 }{2}}+\součet \limits _{j=1}^{k}{\cos {jt}}\right)}$

Z toho vyplývá, že

${\displaystyle \left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}\right)^{2}=2\pi n {\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{{\frac {1}{\pi }}\left({\frac {1}{2} }+\součet \limits _{j=1}^{k}{\cos {jt}}\right)}=n+2\součet \limits _{k=0}^{n-1}{\součet \limits _{j=1}^{k}{\cos {jt))))$

Prohozením dvou součtů a použitím vhodné transformace pro indexy dostaneme:

$\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}\right)^{2}=n+2\ součet \limits _{j=1}^{n-1}\součet \limits _{k=1}^{nj}{\cos {jt}}=n+\součet \limits _{j=1}^{ n-1}{(nj)\cos{jt}}$

Dále je zřejmé, že koeficienty výsledného trigonometrického polynomu budou Fourierovy koeficienty jeho součtu, tzn. $a_{0}=2n,a_{k}=kj(0<k<n),a_{k}=0(k>n-1),b_{k}=0$

Zbývá pouze dosadit tyto koeficienty v odpovídajícím výrazu za integrál:

$\int \limits _{Q}{\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}\right) ^{4}}=\pi \left(2n^{2}+4\součet \limits _{j=1}^{n-1}{\left(nj\right)^{2}}\right) =\pi \left(2n^{2}+4\součet _{j=1}^{n-1}{j^{2}}\right)=\pi \left(2n^{2}+4 \left({\frac {n(n-1)(2n-1)}{6}}\right)\right)=$
$=\pi \left({\frac {12n^{2}+8n^{3}-12n^{2}+4n}{6}}\right)={\frac {2\pi n( 2n^{2}+1)}{3}}$
Dosazením do základní identity Jacksonova jádra tedy můžeme získat výraz pro konstantu: Tvrzení o konstantě je tedy dokázáno.
$\gamma _{n}={\frac {1}{\int \limits _{Q}{\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2))}{\sin { \frac {t}{2}}}}\right)^{4}}}}={\frac {3}{2\pi n(2n^{2}+1)))$

Viz také

Literatura

AV Efimov. Jackson Singular Integral (nedostupný odkaz) (2001). Získáno 11. října 2010. Archivováno z originálu 2. října 2010. (neurčitý)
A. Shadrin. Teorie aproximace – přednáška 9 (University of Cambridge - Katedra aplikované matematiky a teoretické fyziky) (nepřístupný odkaz) (2005). Získáno 11. října 2010. Archivováno z originálu 5. června 2011. (neurčitý)
Zhuk V.V., Natanson G.I. Trigonometrické Fourierovy řady a prvky teorie aproximace. - L . : Nakladatelství Leningrad. un-ta, 1983. - S. 188.
Bari N.K. Trigonometrické řady . - Moskva: Státní nakladatelství fyzikální a matematické literatury, 1961. - S. 936 .
D.Jackson. Teorie aproximace. — Amer. Matematika. Soc., 1930.