Jakobiánský

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 22. listopadu 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Jakobián ( Jacobiho determinant , funkční determinant ) je určité zobecnění derivace funkce jedné proměnné na případ zobrazení z euklidovského prostoru do sebe.

Jacobián je vyjádřen jako determinant Jacobiho matice, matice složené z parciálních derivací zobrazení.

Jakobián mapování v bodě se obvykle označuje , někdy také takto: $F$ $X$ $\mathop {\rm {Jac)) _{x}f$

{\frac {D(f_{1},\tečky ,f_{n})}{D(x_{1},\tečky ,x_{n)))))

,nebo

{\frac {\částečné (f_{1},\tečky ,f_{n})}{\částečné (x_{1},\tečky ,x_{n)))))

Také Jacobian někdy (v ruštině toto použití termínu není docela přijímané) je nazýván Jacobian maticí sám, a ne jeho determinant. V angličtině a v některých jiných jazycích je termín Jacobian považován za stejně použitelný pro Jacobiho matici a její determinant [1] .

Zavedl Jacobi (1833, 1841).

Definice

Jakobián vektorové funkce , která má v určitém bodě všechny parciální derivace prvního řádu, je definován jako $\mathbf {u} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},\mathbf {u} =(u_{1},\ldots ,u_{n}) ,u_{i}=u_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),i=1,\ldots ,n$ $X$

\det {\begin{pmatrix}{\částečné u_{1} \over \partial x_{1}}(x)&{\částečné u_{1} \over \partial x_{2}}(x) &\cdots &{\částečné u_{1} \přes \částečné x_{n}}(x)\\{\částečné u_{2} \přes \částečné x_{1}}(x)&{\částečné u_{ 2} \přes \částečné x_{2}}(x)&\ctečky &{\částečné u_{2} \přes \částečné x_{n}}(x)\\\ctečky &\ctečky &\ctečky &\cdotky \\{\částečné u_{n} \přes \částečné x_{1}}(x)&{\částečné u_{n} \přes \částečné x_{2}}(x)&\ctečky &{\částečné u_{ n} \over \partial x_{n}}(x)\end{pmatrix}}.

Lze také hovořit o jakobiánském determinantu nebo o jakobiánu systému funkcí . $u_{1},\ldots ,u_{n}$

Geometrická interpretace

Jestliže funkce definují transformaci souřadnic , pak význam Jacobiho determinantu je ve vztahu k objemům [2] rovnoběžnostěnů "natažených" dál a dál , když jsou součiny stejné . ${\tilda x}_{1}(x_{1},\tečky ,x_{n}),\ldots ,{\tilda x}_{n}(x_{1},\tečky ,x_{n})$ $x_{i}\rightarrow {\tilda x}_{j}$ $d{\tilda x}_{1},d{\tilda x}_{2},\tečky ,d{\tilda x}_{n}$ $dx_{1},dx_{2},\tečky ,dx_{n}$ $d{\tilda x}_{1}d{\tilda x}_{2}\tečky d{\tilda x}_{n}=dx_{1}dx_{2}\tečky dx_{n}$

Aplikace

Jacobian se často používá při analýze implicitních funkcí.
Nerovnice Jacobiho determinantu k nule slouží jako vhodná nutná a postačující podmínka pro lokální nedegeneraci souřadnicové transformace, to znamená, že v okolí uvažovaného bodu je tato transformace difeomorfismus .
Integrál nad oblastí při nedegenerované transformaci souřadnic je transformován jako ${\tilde x}_{j}\rightarrow x_{i}$ $\int \limits _{{{\tilde \Omega }}}f({\tilde x}_{1},{\tilde x}_{2},\dots ,{\tilde x}_{n}) d{\tilda x}_{1}d{\tilda x}_{2}\tečky d{\tilda x}_{n}=$ $=\int \limits _{{\Omega }}f({\tilda x}_{1}(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}),{\tilda x}_{ 2}(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}),\tečky ,{\tilda x}_{n}(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{ n})){\bigg |}{\frac {D({\tilde x}_{1},{\tilde x}_{2},\dots ,{\tilde x}_{n})}{ D(x_{1},x_{2},\tečky,x_{n})}}{\bigg |}dx_{1}dx_{2}\tečky dx_{n}$ ( změna vzorce proměnných v n - rozměrném integrálu ).

Příklady

Příklad 1. Přechod elementární oblasti z kartézských souřadnic ( x , y ) do polárních souřadnic ( r , φ ): ${\mathrm {d}}S={\mathrm {d}}x\,{\mathrm {d}}y$

x=r\,\cos \varphi

y=r\,\sin \varphi .

Jacobiho matice má následující tvar

{\hat {I))(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r))&{\dfrac {\partial x}{\partial \ varphi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\\\end{bmatrix}}={\begin {bmatrix}\cos \varphi &-r\,\sin \varphi \\\sin \varphi &r\,\cos \varphi \end{bmatrix}}.

A jakobián přechodu z kartézských do polárních souřadnic je determinantem Jacobiho matice:

$J(r,\varphi )=\det {\hat {I))(r,\varphi )=\det {\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\,\sin \varphi \\ \sin \varphi &r\,\cos \varphi \end{bmatrix}}=r.$

Plošný prvek při přechodu z kartézských do polárních souřadnic tedy bude vypadat takto:

$\mathrm {d} S=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=J(r,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi = r\,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi$

Příklad 2. Přechod elementárního objemu z kartézských souřadnic ( x , y , z ) do sférických souřadnic ( r , θ , φ ): ${\mathrm {d}}V={\mathrm {d}}x\,{\mathrm {d}}y\,{\mathrm {d}}z$

x=r\,\sin \theta \,\cos \varphi

y=r\,\sin \theta \,\sin \varphi

z=r\,\cos \theta .

Jacobiho matice má následující tvar

{\hat {I}}(r,\theta ,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r))&{\dfrac {\partial x}{ \partial \theta ))&{\dfrac {\částečné x}{\částečné \varphi }}\\[3pt]{\dfrac {\částečné y}{\částečné r))&{\dfrac {\částečné y} {\partial \theta }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial z}{\partial r}}&{\dfrac {\partial z }{\částečné \theta }}&{\dfrac {\částečné z}{\částečné \varphi }}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \varphi &r \,\cos \theta \,\cos \varphi &-r\,\sin \theta \,\sin \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi &r\,\cos \theta \,\sin \varphi &r\,\sin \theta \,\cos \varphi \\\cos \theta &-r\,\sin \theta &0\end{bmatrix}}.

A jakobián přechodu z kartézských do sférických souřadnic je determinantem Jacobiho matice:

$J(r,\theta ,\varphi )=\det {\hat {I))(r,\theta ,\varphi )=\det {\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \ varphi &r\,\cos \theta \,\cos \varphi &-r\,\sin \theta \,\sin \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi &r\,\cos \theta \, \sin \varphi &r\,\sin \theta \,\cos \varphi \\\cos \theta &-r\,\sin \theta &0\end{bmatrix}}=r^{2}\sin \theta .$

Prvek objemu při přechodu z kartézských do sférických souřadnic tedy bude vypadat takto:

$\mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=J(r,\theta ,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \, \mathrm {d} \varphi$

Vlastnosti

Absolutní hodnota jakobiánu v určitém bodě se rovná koeficientu objemového zkreslení v tomto bodě (tedy hranici poměru objemu obrazu okolí bodu k objemu samotného okolí, kdy rozměry okolí mají tendenci k nule). $X$ $X$
Jacobian v bodě je kladný, pokud mapování nemění orientaci v okolí bodu M, a záporný v opačném případě. $X$
Jestliže jakobián zobrazení v doméně nezmizí, pak je zobrazení místním difeomorfismem . $\Delta$ $\Delta$

Poznámky

↑ wolfram.com Jacobian
↑ Zde máme na mysli orientovaný objem . Poměr primárních objemů je modul Jacobiho determinantu.

Viz také

Aplikace ve fyzice

Bridgemanovy vztahy (termodynamika) a Maxwellovy vztahy (termodynamika) jsou odvozeny pomocí jakobiánské techniky