Steenrod-Eilenbergovy axiomy

Steenrod-Eilenbergovy axiomy jsou souborem základních vlastností homologických teorií identifikovaných Eilenbergem a Steenrodem .

Tento přístup umožňuje prokázat výsledky, jako je Mayer-Vietorisova sekvence , pro všechny homologické teorie najednou.

Axiomy

Nechť je posloupnost funktorů z kategorie párů topologických prostorů do kategorie komutativních grup , vybavených přirozenou transformací zvanou hranice . (Zde je zkratka pro .) $H_n$ $(X,A)$ $\partial \colon H_{i}(X,A)\to H_{i-1}(A)$ $H_{i-1}(A)$ $H_{i-1}(A,\emptyset )$

Homotopická ekvivalence vyvolává stejnou homologii. To znamená, že pokud je homotopické , pak jsou jejich indukovaná zobrazení stejná. $g\colon (X,A)\rightarrow (Y,B)$ $h\colon (X,A)\rightarrow (Y,B)$
Předpokládejme , že existuje pár a je podmnožinou , takže jeho uzavření je obsaženo ve vnitřku . Pak inkluze indukuje izomorfismus v homologii. $(X,A)$ $U$ $X$ $A$ $i\colon (XU,AU)\to (X,A)$
Nechť existuje jednobodový topologický prostor, pak pro všechny . $P$ $H_{n}(P)=0$ $n \neq 0$
Jestliže , je disjunktní spojení rodiny topologických prostorů , pak . $X=\coprod _{\alpha }{X_{\alpha }}$ $X_{\alpha }$ $H_{n}(X)\cong \bigoplus _{\alpha }H_{n}(X_{\alpha })$
Každý pár indukuje dlouhou přesnou sekvenci inkluzních homologií a : $(X,A)$ $i\colon A\to X$ $j\colon X\to (X,A)$ $\cdots \longrightarrow H_{n}(A)\,{\stackrel {i_{*}}{\longrightarrow }}\,H_{n}(X)\,{\stackrel {j_{*}} {\longrightarrow }}\,H_{n}(X,A)\,{\stackrel {\částečné }{\longrightarrow }}\,H_{n-1}(A)\longrightarrow \cdots .$

Literatura

C. Kosniewski Základní kurz algebraické topologie