Fourierova analýza

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 18. března 2022; kontroly vyžadují 5 úprav .

Fourierova analýza je směr v analýze , který studuje, jak lze obecné matematické funkce reprezentovat nebo aproximovat pomocí součtu jednodušších goniometrických funkcí . Fourierova analýza vznikla při studiu vlastností Fourierových řad a je pojmenována po Josephu Fourierovi , který ukázal, že reprezentace funkce jako součtu goniometrických funkcí značně zjednodušuje studium přenosu tepla.

Fourierova analýza nachází uplatnění při řešení široké škály matematických problémů. Ve vědě a technice se proces rozkladu funkce na oscilační složky nazývá Fourierova analýza a operace a obnova funkcí z takových částí se nazývá Fourierova syntéza.

Například při určování, které frekvenční složky jsou přítomny v notě, se na vybranou notu aplikuje Fourierova analýza. Poté můžete syntetizovat stejný zvuk pomocí frekvenčních složek, které byly detekovány během analýzy.

Proces rozkladu se nazývá Fourierova transformace .

Aplikace

Fourierova analýza má mnoho aplikací ve vědě - ve fyzice, parciálních diferenciálních rovnicích, teorii čísel, kombinatorice, zpracování signálů, digitálním zpracování obrazu, teorii pravděpodobnosti, statistice, forenzní vědě, kryptografii, numerické analýze, akustice, oceánografii, geometrii, strukturní analýze proteinů a dalších oblasti.

Tato široká použitelnost je způsobena mnoha užitečnými vlastnostmi transformace:

Transformace je lineární zobrazení a, pod vhodnou normalizací, také unitární (tato vlastnost je známá jako Parsevalův teorém nebo obecněji jako Plancherelův teorém a obecně kvůli Pontryaginově představě duality ) [1] .

Transformace je obvykle vratná.
Exponenciální funkce jsou vlastními funkcemi pro operaci derivace, což znamená, že taková reprezentace mění lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty na obyčejné algebraické rovnice ( Evans 1998 ). Je tedy možné analyzovat chování lineárních stacionárních systémů nezávisle pro každou frekvenci.
Díky konvoluční větě převádějí Fourierovy transformace složitou operaci konvoluce na jednoduché násobení, což znamená, že takové transformace umožňují efektivním způsobem výpočty s operacemi založenými na konvoluci, jako je násobení polynomů a násobení velkých čísel [2] .
Diskrétní verzi Fourierovy transformace mohou počítače rychle vypočítat pomocí algoritmů rychlé Fourierovy transformace (FFT) [3] .

Ve forenzní oblasti používají laboratorní infračervené spektrofotometry analýzu Fourierovy transformace k měření vlnové délky světla, při které materiál absorbuje infračervené záření. K dekódování naměřených signálů a záznamu dat o vlnové délce se používá metoda Fourierovy transformace. A při použití počítače se takové výpočty používají rychle, takže takové počítačem řízené zařízení dokáže vyrobit infračervené absorpční spektrum v řádu sekund [4] .

Fourierova transformace se také používá ke kompaktní reprezentaci signálu. Například kompresní algoritmus JPEG používá modifikaci Fourierovy transformace (diskrétní kosinová transformace) pro malé čtvercové kousky digitálního obrazu. Fourierovy složky každého čtverce jsou zaokrouhleny dolů na menší než aritmetická přesnost a vedlejší složky jsou zanedbávány, takže zbývající složky mohou být uloženy velmi kompaktně. Během rekonstrukce obrazu je každý čtverec obnoven ze zachovaných přibližných složek Fourierovy transformace, které jsou poté převedeny zpět na přibližně obnovený původní obraz.

Varianty Fourierovy analýzy

(Spojitá) Fourierova transformace

Nejčastěji, bez výhrad, Fourierova transformace znamená použití skutečného argumentu na spojité funkce transformace, což vede ke spojité funkci frekvence, známé jako frekvenční distribuce. Jedna funkce přechází do druhé a samotná operace je vratná. Když je definičním oborem vstupní (počáteční) funkce čas ( t ) a definičním oborem počáteční (koncové) funkce je frekvence, je transformace funkce s ( t ) na frekvenci f dána vztahem:

S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-2i\pi ft}\,dt.

Výpočet této hodnoty pro všechny hodnoty f tvoří funkci ve frekvenční oblasti. Potom s ( t ) může být reprezentováno jako rekombinace komplexních exponentů pro všechny možné frekvence:

s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{2i\pi ft}\,df,

což je vzorec pro převrácenou hodnotu komplexního čísla S ( f ) , obsahuje jak amplitudu, tak fázi frekvence f .

Fourierova řada

Fourierova transformace periodické funkce s P ( t ) s periodou P se stává funkcí, která je Diracovým hřebenem modulovaným sekvencí komplexních koeficientů:

S[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}s_{P}(t)\cdot e^{-2i\pi {\frac {k}{P}} t}\,dt

pro všechny celočíselné hodnoty k a kde ∫ P je integrál v intervalu délky P.

Inverzní transformace, známá jako Fourierova řada, je reprezentace s P ( t ) ve smyslu součtu potenciálně nekonečného počtu harmonicky souvisejících sinusoid nebo komplexních exponenciálních funkcí, z nichž každá má amplitudu a fázi danou jedním z koeficienty:

s_{P}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{2i\pi {\frac {k}{P}}t} \quad {\stackrel {\displaystyle {\mathcal {F))}{\Longleftrightarrow ))\quad \sum _{k=-\infty }^{+\infty }S[k]\,\delta \left( f-{\frac {k}{P}}\right).

Když je s P ( t ) specifikováno jako periodický součet jiné funkce, s ( t ) :

s_{P}(t)\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP),

koeficienty jsou úměrné prvkům S ( f ) pro diskrétní intervaly P :

S[k]={\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right).

{\displaystyle \int _{P}\left(\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP)\right)\cdot e^{-2i\pi {\frac {k }{P}}t}\,dt=\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-2i\pi {\frac {k}{P}} t}\,dt} _{{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,S\left({\frac {k}{P}}\right)))

Postačující podmínkou pro rekonstrukci s ( t ) (a tedy S ( f ) ) pouze z těchto prvků (tedy z Fourierovy řady) je, že nenulový vzorek s ( t ) bude omezen na známý interval délky P , se zdvojnásobením frekvenční oblasti podle Nyquist-Shannonovy vzorkovací věty .

Viz také

Poznámky

↑ Rudin, 1990 .
↑ Knuth, 1997 .
↑ Conte, de Boor, 1980 .
↑ Saferstein, Richard. Kriminalistika: Úvod do forenzní vědy (anglicky) . — 2013.

Literatura

Conte, SD; deBoor, Carl. Elementární numerická analýza . - Třetí. - New York: McGraw Hill, Inc., 1980. - ISBN 0-07-066228-2 .
Evans , L. Parciální diferenciální rovnice . - American Mathematical Society, 1998. - ISBN 3-540-76124-1 .
Howell, Kenneth B. Principy Fourierovy analýzy . - CRC Press , 2001. - ISBN 978-0-8493-8275-8 .
Kamen, E. W.; Heck, BS Základy signálů a systémů pomocí webu a Matlabu . - 2. - Prentiss-Hall, 2000. - ISBN 0-13-017293-6 .
Knuth, Donald E. The Art of Computer Programming Volume 2 : Seminumerical Algorithms . — 3. - Addison-Wesley Professional , 1997. - P. Oddíl 4.3.3.C: Diskrétní Fourierovy transformace, str. 305. — ISBN 0-201-89684-2 .
Müller, Meinard. Fourierova transformace v kostce . - Springer, 2015. - P. In Základy hudebního zpracování , oddíl 2.1, s. 40-56. — ISBN 978-3-319-21944-8 . - doi : 10.1007/978-3-319-21945-5 .
Polyanin, AD; Manzhirov, A. V. Handbook of Integral Equations (anglicky) . - Boca Raton: CRC Press , 1998. - ISBN 0-8493-2876-4 .
Rudin, Walter. Fourierova analýza na skupinách . - Wiley-Interscience , 1990. - ISBN 0-471-52364-X .
Smith, Steven W. Průvodce pro vědce a inženýra digitálním zpracováním signálu . - Druhý. - San Diego: California Technical Publishing, 1999. - ISBN 0-9660176-3-3 .
Stein, E. M.; Weiss, G. Úvod do Fourierovy analýzy na euklidovských prostorech . — Princeton University Press , 1971. — ISBN 0-691-08078-X .

Odkazy

Tabulky integrálních transformací na EqWorld: Svět matematických rovnic.
Intuitivní vysvětlení Fourierovy teorie od Stevena Lehara.
Přednášky o zpracování obrazu: Sbírka 18 přednášek ve formátu pdf z Vanderbilt University. Přednáška 6 je o 1- a 2-D Fourierově transformaci. Přednášky 7-15 toho využívají. od Alana Peterse
Moriarty, Philip; Bowley, Roger ∑ Sumace (a Fourierova analýza) . Šedesát symbolů . Brady Haran pro University of Nottingham (2009). (neurčitý)

Slovníky a encyklopedie

V bibliografických katalozích
BNE : XX527483 BNF : 11942178c GND : 4023453-8 J9U : 987007548251005171 LCCN : sh85051088 NKC : ph117564 SUDOC : 04070890X , 027363988