Reynoldsova analogie

Reynoldsova analogie je analogií mezi přenosem tepla a třením.

Matematický popis

Uvažujme rovnice pohybu a přenosu tepla (za předpokladu, že použijeme aproximaci mezní vrstvy a neexistuje tlakový gradient):

\rho \left(u{\frac {\částečné u}{\částečné x))+v{\frac {\částečné u}{\částečné y))\vpravo)=\mu {\frac {\ částečné ^{2}u}{\částečné y^{2}}},

\rho C_{p}\left(u{\frac {\partial T}{\partial x))+v{\frac {\partial T}{\partial y))\right)=k{\ frac {\částečné ^{2}T}{\částečné y^{2}}}.

Dimenzujme je pomocí faktorů a , kde l je charakteristická velikost problému: ${\displaystyle 1/{\rho _{\infty }U_{\infty }l))$ ${\displaystyle 1/{\rho _{\infty }C_{p}U_{\infty }l))$

u{\frac {\partial u}{\partial x))+v{\frac {\partial u}{\partial y))={\frac {1}{\mathrm {Re} }}{ \frac {\částečné ^{2}u}{\částečné y^{2}}},

u{\frac {\partial T}{\partial x))+v{\frac {\partial T}{\partial y))={\frac {1}{\mathrm {Re} \mathrm { Pr} }}{\frac {\částečné ^{2}T}{\částečné y^{2}}}.

Po vyřešení těchto rovnic získáme výrazy pro růst dynamických a tepelných mezních vrstev :

{\frac {\delta }{l))\sim {\frac {1}{\sqrt {\mathrm {Re} }}},

{\frac {\delta _{T}}{l}}\sim {\frac {1}({\sqrt {\mathrm {Re} }}{\sqrt[{3}]{\mathrm { Pr} }}}}.

Z toho tedy vyplývá

{\frac {\delta _{T}}{\delta }}={\frac {1}{\sqrt[{3}]{\mathrm {Pr} }}}.

Při aplikaci na plyny tento vztah ukazuje, že mezi tloušťkou tepelné a dynamické mezní vrstvy není velký rozdíl. Výsledným vztahům se někdy také říká Reynoldsova analogie, nicméně stojí za to se nad nimi hlouběji zamyslet. Bezrozměrný koeficient tření zapíšeme v následujícím tvaru:

C_{f}={\frac {\tau _{w}}({\frac {1}{2}}\rho U_{\infty }^{2}}}\sim {\frac {1 }{\sqrt {\mathrm {Re} }}},

kde je místní smykové napětí na stěně. Porovnáním tohoto vztahu se vztahy pro Nusseltovo číslo dostaneme $\tau _{w}=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y))\right)$

\mathrm {Nu} ={\frac {1}{2}}C_{f}\mathrm {Re} \cdot f({\mathrm {Pr} }).

Tento výraz je podstatou Reynoldsovy analogie.

V inženýrské praxi se místo Nusseltova čísla často používá Stantonovo číslo , jehož hodnota je rovněž úměrná součiniteli prostupu tepla. Pomocí stejných vztahů to lze získat

\mathrm {St} ={\frac {C_{f}}{2}}f(\mathrm {Pr} ).

Můžeme tedy dojít k závěru, že bez tření nedochází k přenosu tepla. U desky lze tepelný tok vyjádřit následujícím vzorcem:

q={\frac {C_{f}}{2}}C_{p}\rho U_{\infty }\Delta T.

Závěry

S nárůstem hmotnostního toku úměrně roste velikost tepelného toku, třecí odpor však roste úměrně druhé mocnině rychlosti, tj. při takovém zintenzivnění přenosu tepla klesá jeho účinnost ve vztahu k hydraulickým ztrátám. .

Velikost tepelného toku se zvyšuje s rostoucí hustotou a tepelnou kapacitou. K realizaci tohoto efektu je možné použít látky s vysokou hodnotou produktu (voda, tekuté kovy), stejně jako zvýšit tlak plynného média. ${\displaystyle \rho C_{p))$

Nejběžnějším způsobem zintenzivnění přenosu tepla je zvýšení koeficientu tření nebo celkového hydraulického odporu teplosměnného zařízení. K tomu se na povrchu, na kterém dochází k výměně tepla, vytvářejí nepravidelnosti a výčnělky.

Literatura

Krasheninnikov S. Yu Úvod do teorie přenosu tepla v proudových motorech. - M. : CIAM, 2009. - S. 158.