Asymptotický Weylův vzorec

Weilův asymptotický vzorec dává do souvislosti objem Riemannovy variety s asymptotickým chováním vlastních hodnot jejího Laplaciana .

Historie

Poměr získal Hermann Weyl v roce 1911. Zpočátku byl formulován pouze pro oblasti euklidovského prostoru. V roce 1912 předložil nový důkaz založený na variačních metodách . [jeden]

Formulace

Nechť je -rozměrná Riemannovská varieta. Označte počtem vlastních čísel (s přihlédnutím k násobnosti) nepřesahujících , pro Dirichletův problém na . Pak $\Omega$ $d$ $N(\lambda )$ $\lambda$ $\Omega$

N(\lambda )={\frac {\omega _{d}}{(2\pi )^{d}}}\cdot \operatorname {vol} \Omega \cdot \lambda ^{d/2 }+o(\lambda ^{d/2})

kde označuje objem jednotkové koule v -rozměrném euklidovském prostoru. [2] ${\displaystyle \omega _{d))$ $d$

Upřesnění

Odhad pro zbytek se mnohonásobně zlepšil.

V roce 1922 jej Richard Courant vylepšil na . $O(\lambda ^{(d-1)/2}\log \lambda )$
V roce 1952 Boris Levitan prokázal přísnější omezení pro uzavřená potrubí. $O(\lambda ^{(d-1)/2})$
Robert Seeley zejména aby zahrnoval určité euklidovské domény[3]

Další člen v asymptotice pro je pravděpodobně úměrný ploše hranice . Vzhledem k tomuto termínu musí být odhad pro zbytek . Zejména za podmínky, že neexistuje žádná hranice, by odhad pro zbývající člen ve výše uvedeném vzorci měl být . ${\displaystyle \lambda ^{(d-1)/2))$ $\Omega$ $o(\lambda ^{(d-1)/2})$ $o(\lambda ^{(d-1)/2})$

V roce 1975 Hans Deistermaat a Victor Guillemin prokázali odhad za určitých dalších všeobecných podmínek polohy. [čtyři] $o(\lambda ^{(d-1)/2})$
- Ten shrnul Victor Ivry v roce 1980. [5] Toto zobecnění předpokládá, že množina periodických trajektorií kulečníku v má míru 0. Ta druhá možná platí pro všechny ohraničené euklidovské domény s hladkými hranicemi. $\Omega$

Poznámky

↑ H. Weyl. Das asymptotische Verteilungsgesetz linearen partiellen Differentialgleichungen (německy) // Math. Ann. : prodejna. - 1912. - Bd. 71 . - S. 441-479 .
↑ Weyl, Hermann. Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte (neopr.) // Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. - 1911. - S. 110-117 .
↑ R. Seeley. Ostrý asymptotický odhad pro vlastní hodnoty Laplacianu v doméně // Adv. Matematika.. - 1978. - Sv. 29, č. 2. - S. 244-269. - doi : 10.1016/0001-8708(78)90013-0 . $\mathbf {R} ^{3}$
↑ JJ Duistermaat, VW Guillemin. Spektrum pozitivních eliptických operátorů a periodické bicharakteristiky // Inventiones mathematicae. - 1975. - Sv. 29, č. 1. - S. 39-79. - doi : 10.1007/BF01405172 .
↑ V. Ya. Ivry. Na druhém členu spektrální asymptotiky pro Laplaceův-Beltramiho operátor na varietách s hranicí // Funct. analýza a její aplikace - 1980. - V. 14 , č. 2 . - S. 25-34 .