Atlas (topologie)
Atlas - koncept diferenciální geometrie , který umožňuje zavádět další struktury na rozdělovači ; například hladká struktura nebo složitá struktura.
Atlas se skládá z jednotlivých map, které popisují jednotlivé oblasti diverzity. Pokud rozmanitostí rozumíme povrch Země, pak slova „mapa“ a „atlas“ nabývají svých obvyklých významů.
Definice
Dovolit být číselné pole (například , nebo ),
být topologický prostor .
![K](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
![\mathbb {R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc)
![\mathbb {C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
- Mapa je dvojice kde
![{\displaystyle (U,f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec4dbdf43357db955dc953fe357a7fc4a8566d96)
![U](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025)
je
otevřený set in
![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
je
homeomorfismus od do
otevřené množiny do
![U](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025)
- Místní mapa vstupuje do křivočarých souřadnic přidružením bodu k sadě čísel
![U](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025)
![{\displaystyle x=f^{-1}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d4934e119cfd5650472044d0a7f669f04bfa5d)
![{\displaystyle t=(t^{1},...,t^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4a2749cc9de266db84bcc23fb45cd0e74aed25a)
- Pokud se definiční obory dvou map a protínají ( ), pak mezi množinami a existují vzájemně inverzní zobrazení (homeomorfismy), nazývaná srovnávací funkce nebo slepené zobrazení :
![{\displaystyle (U_{1},f_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/018e07e48ba7bf308fad6b7e937a424d68ea117e)
![{\displaystyle (U_{2},f_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04eb0ee65b90de0d294a2bef946013d9aa5c23db)
![{\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c8db4f548fabfa8dbd832bd87b499819cf59d1c)
![{\displaystyle f_{1}(U_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca17f0bab0b0055a0628966e48a57ba42612c13)
![{\displaystyle f_{2}(U_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb53b35161ee7cc05c284542fdca1d53be4b7109)
![{\displaystyle {\begin{matrix}f_{12}=f_{1}\circ f_{2}^{-1}|_{f_{2}(U_{1}\cap U_{2})}& :\ f_{2}(U_{1}\cap U_{2})\to f_{1}(U_{1}\cap U_{2})\\f_{21}=f_{2}\circ f_ {1}^{-1}|_{f_{1}(U_{1}\cap U_{2})}&:\ f_{1}(U_{1}\cap U_{2})\to f_ {2}(U_{1}\cap U_{2})\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/856bc9325d4adceef54f3c320353baf71206e289)
- Atlas je soubor koordinovaných map , které tvoří prostorové pokrytí . Zde je několik sad indexů. V tomto případě se atlas nazývá hladký (třídy ) nebo analytický, pokud jsou funkce změny souřadnic pro všechny mapy hladké (třídy ) nebo analytické.
![{\displaystyle \{(U_{\alpha },f_{\alpha })\))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a44a9622ef6c3f15ca350365772529f5a2075cf6)
![{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3a491e0d5da63b7ceff79b66d2520b985f50841)
![\{U_{\alpha }\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/681f8e25b4f4a48037221f84af293974138ee1c5)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![{\mathcal {A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/280ae03440942ab348c2ca9b8db6b56ffa9618f8)
![C^k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/167fdb0cfb5644c4623b5842e1a9141acd83b534)
![{\displaystyle f_{\alpha _{1}\alpha _{2))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a773f2a08edd944a3403b53f4e1d1f3d199aaba4)
![C^k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/167fdb0cfb5644c4623b5842e1a9141acd83b534)
Související definice
- Dva hladké (analytické) atlasy jsou považovány za konzistentní , pokud je jejich spojení také hladkým (analytickým) atlasem.