Atom Crandall

Crandallův atom [1] je dvouelektronový problém, který připouští přesné řešení. Představuje elektrony pohybující se v harmonickém potenciálu jádra s Coulombovým odpuzováním mezi nimi. Zvažováno v [2] .

Definice

Pomocí atomových jednotek , Planckova konstanta , hmotnost , lze Hamiltonián definující Crandallův atom zapsat jako [2] $\hbar=1$ $m=1$

{\hat {H}}=-{\frac {1}{2}}(\nabla _{1}^{2}+\nabla _{2}^{2})+{\frac { \omega ^{2}}{2}}({\textbf {r}}_{1}^{2}+{\textbf {r}}_{2}^{2})+{\frac {\ lambda }{({\textbf {r}}_{1}-{\textbf {r}}_{2})^{2}}}

kde r 1 , r 2 jsou souřadnice pro částice s indexy 1 a 2, ω je čistota oscilátoru, λ>0 je koeficient interakce elektron-elektron. První dva členy jsou operátory kinetické a potenciální energie pro každý elektron s indexy 1 a 2 a třetí člen je potenciál elektron-elektron, který má převrácenou třetí mocninu vzdálenosti mezi částicemi.

Řešení

Stavová energie je [2]

E_{n,l,m}^{n',l',m'}={\frac {\omega }{2))\left(5+4n+4n'+2l'+{\sqrt {1+4\lambda +4l(l+1)}}\vpravo),

a vlnové funkce

\psi _{n,l,m}^{n',l',m'}(u,v)=e^{-{\frac {1}{2))\omega ({\textbf {u}}^{2}+{\textbf {v}}^{2})}u^{'l}v^{a}L_{n'}^{l'+1/2}(\omega u^{2})L_{n}^{a+1/2}(\omega v^{2})Y_{l',m'}(\theta _{u},\phi _{u}) Y_{l,m}(\theta _{v},\phi _{v}),

kde , L jsou Laguerrovy polynomy , Y jsou sférické harmonické a nové souřadnice $a={\frac {1}{2}}({\sqrt {1+4\lambda +4l(l+1)))-1),$ ${\textbf {u}}=({\textbf {r}}_{1}+{\textbf {r}}_{2})/{\sqrt {2}}),$ ${\textbf {v}}=({\textbf {r}}_{1}-{\textbf {r}}_{2})/{\sqrt {2}}.$

Poznámky

↑ C. A. Downing. Dvouelektronový atom se stíněnou interakcí // Phys . Rev. A. - 2017. - Sv. 95, . — S. 022105 . - doi : 10.1103/PhysRevA.95.022105 .
↑ 1 2 3 R. Crandall, R. Whitnell a R. Bettega. Přesně rozpustný dvouelektronový atomový model (anglicky) // Am. J. Phys., 1984, sv. 52 . - str. 438-442 . - doi : 10.1119/1.13650 .